1.1. Первообразная
Определение. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если они обе существуют на одном и том же множестве, и производная функции F(x) равна функции f(x).
F / (x) = f (x)
Например, функция:
· y = sin x - первообразная для y = cos x
· y = - cos x - первообразная для y = sin x
· y = 2x + 1 - первообразная для y = 2
· y = ln x - первообразная для y = 1/x (на множестве x > 0) и т.д.
Операция нахождения первообразной называется интегрирование. Это операция, обратная дифференцированию.
Вспоминаем таблицу первообразных элементарных функций
Функция f(x) | Первообразная F(x) |
1) Постоянная: C | |
2) Степенная: | |
Частные случаи: | |
Для степенной | |
3) Показательная: | |
Частный случай: | |
4) Тригонометрические: | |
5) Правила интегрирования: | |
5.1) | |
5.2) | |
5.3) Для сложной функции |
1.2. Неопределенный интеграл
Для любой функции существует бесконечно много первообразных, которые имеют общую часть, а различаются лишь постоянными (числами).
|
|
Например, для функции
являются первообразными, т.к. . И подобных первообразных можно составить сколько угодно.
Определение. Совокупность всех первообразных для данной функции f(x) называется неопределенным интегралом от этой функции и обозначается .
Здесь:
f(x) -- подинтегральная функция, f(x)dx – подинтегральное выражение, dx – дифференциал аргумента.
Тогда, общая формула: , где C – произвольная постоянная.
Таким образом, для вычисления неопределенного интеграла, нужно найти все первообразные
заданной функции.
Например: и т.д.
Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство параллельных интегральных кривых F(x), F(x)+C1, F(x)+C2 и т.д.
Отмечаем: если функция y=f(x) непрерывна на некотором промежутке, то на этом промежутке существует первообразная функции F(x), а, следовательно, и неопределенный интеграл ∫f(x)dx.
Примеры. Найти:
1.3. Основные свойства неопределенного интеграла
1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
5. Неопределенный интеграл от суммы двух функций равен сумме их интегралов:
Справедливо для любого количества слагаемых. Необходимо помнить, существуют ли все функции на одном и том же множестве.
Таблица основных интегралов
1. | 13. |
2. | 14. |
3. | 15. |
4. | 16. |
5. | 17. |
6. | 18. |
7. | 19. |
8. | 20. |
9. | 21. |
10. | |
11. | 22. Для сложной функции: |
12. |
|
|