Визначення параметрів рент

Виведені формули для визначення дійсної і майбутньої вартості фінансових потоків дозволяють обчислювати будь-які параметри фінансових потоків, які входять до них, а саме: R, p, m, n, і або j. З подібними розрахунками ми вже зустрічалися в попередніх розділах при обчисленні різних фінансових показників по відомим іншим.

Відзначимо, однак, що параметр m (число разів нарахування процентів у році) з формули (4.3)і їй подібних у виді зручної формули для розрахунків отриманий бути не може. Відносно m рівняння (4.3) можна вирішити тільки приблизно. З подібним явищем ми зустрічалися при визначенні фінансових показників при нарахуванні складних процентів.

Як приклад, виведемо формулу для визначення терміну ренти postnumerando і періодичного платежу в рахунок ренти (при інших заданих умовах).

Здійснюючи найпростіші перетворення і логарифмуючи формулу (4.3), одержимо формули для розрахунку терміну ренти в роках і формулу для визначення періодичного платежу в рахунок ренти. На цих же умовах і з цих же формул можна було б виразити m.

(4.10.)

Звернемо ще раз увагу, що у всіх згаданих формулах під R розуміється сума перерахованих грошей за рік. Якщо платежі в рахунок ренти здійснюються кілька разів на рік, а саме р разів, то для визначення величини платежу, здійснюваного кілька разів за рік, з відповідної формули потрібно визначити величину R/p.

(4.11.)

причому, це буде платіж за р-ю частину року. Наприклад, якщо р=4, то платежі будуть здійснюватися поквартально. Якщо р=12, то платежі будуть здійснюватися щомісячно. І так далі.

Для конкретних обчислень вибирається та формула, що відповідає вихідним даним. Якщо відомо значення, скажемо, PVf і потік prenumerando, то n треба знаходити з формули (4.9).

Приклад 1. Визначити, яку суму грошей потрібно вносити на банківський рахунок протягом 5 років наприкінці кожного місяця, щоб у підсумку одержати не менше 1000 доларів. Банк нараховує проценти чотири рази на рік по річній процентній ставці 8%.

Дано:

Терміновий аннуітет

postnumerando

FVf=1000 дол.

p=4

m=4

n=5

i=8%

R/p-?

Відстрочені ренти.

Дотепер ми розглядали потоки, члени яких надходять, починаючи з першого періоду. Відповімо тепер на питання, що робити, якщо члени потоку починають надходити, починаючи з деякого іншого номера періоду, який назвемо n . У цьому випадку треба:

- обчислити FVf для потоку, члени якого надходять, починаючи з першого періоду,

- відняти з нього FVf - нарощену вартість потоку, члени якого надходять до періоду під номером.

Покажемо принцип таких розрахунків для найпростішого випадку. Позначимо нарощену вартість потоку, члени якого надходять, починаючи з номера n і через FVf . Розглянемо потоки postnumerando. У найпростішому випадку, використовуючи формулу (4.1) і виносячи за дужки загальну частину, будемо мати:

FVf = (4.12.)

Для ренти prenumerando і випадків, коли m і р не дорівнюють 1, міркування аналогічні.

Приклад 2. Наприкінці кожного року, починаючи з четвертого, протягом десяти років на банківський рахунок надходять по 1000 грн. Визначити нарощену суму грошей на рахунку наприкінці через десять років, якщо банк нараховує проценти один раз на рік по ставці 10%.

Дано:

Рента

рostnumerando

R=1000 грн.

Р=1

FVf=

m=1

і=10%

FVf-?

Для визначення сучасної вартості потоку, яку у цьому випадку назвемо, треба діяти аналогічним чином:

- обчислити PVf для потоку, члени якого надходять, починаючи з першого періоду,

- відняти з неї PVf - сучасну вартість потоку, члени якого надходять до періоду під номером.

РVf = (4.13.)

Приклад 3. змінимо трохи умови попередньої задачі. Нехай фірмі потрібно вкласти в деякий проект 8 млн. грн.. Доходи від інвестування очікуються в наступні десять років по 2 млн. грн.. наприкінці кожного року, починаючи з четвертого. Визначити чисту приведену вартість від реалізації проекту, виходячи зі ставки порівняння 10% за період.

Дано:

Рента

рostnumerando

С=8 млн. грн..

R=2 млн. грн.

р=1

NPV=PVf

– C. РVf

РVf

=7.315 NPV=7.315-8= -0.684. Отже, проект і в цьому випадку збитковий.

m=1

n=10

n =4

і=10%

NPV -?

Еквівалентні ренти.

Ренти називаються еквівалентними, якщо вони мають однакові сучасні вартості. Питання про еквівалентність рент устає, наприклад, при необхідності зменшити або збільшити загальний термін надходження платежів, не змінюючи повну суму внесених грошей з погляду сьогоднішнього дня. Може зустрітися також ситуація, коли необхідно змінити процентну ставку.

Основне правило знаходження ренти, еквівалентної заданій, полягає в наступному:

- знаходиться сучасна вартість заданої ренти,

- знайдена сума вважається сучасною вартістю шуканої ренти,

- підбирається рента зі знайденою сучасною вартістю і потрібними іншими параметрами. Ця нова рента і буде рентою, еквівалентною заданій ренті.

Приклад 4. Потрібно замінити ренту postnumerando, що повинна виплачуватися протягом 12 місяців із щомісячним платежем 100 грн. Наприкінці місяця, на ренту postnumerando тривалістю 7 місяців. Щомісячна процентна ставка складає 10%.

Рішення

У цій задачі для заданої ренти postnumerando потрібно знайти ренту також postnumerando, еквівалентну їй у значенні, визначеному вище.

Відповідно до описаного алгоритму визначимо спочатку сучасну величину нової ренти PVf . Таким чином, маємо першу з можливих задач.

Дано:

РVf

=100

РVf

=681.36914

=100

n =12

i=10%

РVf -?

Тепер, визначимо щомісячний платіж нової ренти, еквівалентної заданій. Підберемо ренту зі знайденою сучасною вартістю і потрібними параметрами. Ця нова рента і буде рентою, еквівалентною заданій ренті.

=139.95. Отже, щомісячний платіж шуканої ренти повинен складати 139,95 грн.

Маємо, таким чином, другу задачу:

Дано:

РVf = 681.36914

n=7

i=10%

РVf -?

Поєднання рент.

Під поєднання декількох рент розуміється така рента, сучасна вартість якої за всіх інших умов дорівнює сучасній сумарній вартості заданих рент. Задачі, що приводять до поєднання рент наприкінці, очевидно. Наприклад, це схема погашення декількох заборгованостей єдиним потоком виплат.

Основне правило поєднання рент:

- знаходяться сучасні вартості рент, що складаються, і обчислюється їхня сума,

- знайдена сума вважається сучасною вартістю шуканої ренти,

- підбирається нова рента зі знайденою сумарною сучасною вартістю і потрібними іншими параметрами. Ця нова рента і буде поєднаною рентою заданих рент.

Приклад 51. Потрібно знайти сумарну ренту для двох річних рент, а саме: перша рента має тривалість 5 років і річний платіж 1000 грн., друга рента має тривалість 8 років і річний платіж 800 грн. Ставка порівняння – 8% на рік.. Тривалість сумарної ренти – 6 років.

Рішення

Відповідно до описаного алгоритму визначимо спочатку сучасну величину нової ренти PVf . Таким чином, маємо першу задачу.

Дано: