Бесконечно малые величины

Функция α(x) называется бесконечно малой величиной при x → x ₀ или при x →∞, если ее предел равен нулю: α(x)=0.

Иначе:

а) α(x) является бесконечно малой величиной в точке x ₀, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число δ=δ(ε)>0, зависящее от ε, что для всех x ≠ x ₀ и удовлетворяющих условию | x – x ₀|<δ выполняется неравенство |α(x)|<ε или

;

б) α(x) является бесконечно малой величиной при x →∞, если для любого сколь угодно малого положительного числа ε>0 найдется такое положительное число S = S (ε)>0, зависящее от ε, что для всех x, удовлетворяющих условию | x |> S выполняется неравенство |α(x)|<ε или

.

Теорема 1 Если функция f (x) имеет при x → x ₀(∞) предел, равный A, то ее можно представить в виде суммы этого числа A и бесконечно малой α(x) при x → x ₀(∞), т.е. если f (x)= A, то f (x)= A+ α(x).

Теорема 2 Если функцию f (x) можно представить как сумму числа A и бесконечно малой α(x) при x → x ₀(∞), то число A есть предел этой функции при x → x ₀(∞), т.е. f (x)= A.