Определение закона распределения времени пребывания в группе состояний для дискретного марковского случайного процесса с непрерывным временем

Рассмотрим дискретный марковский случайный процесс с непрерывным временем, состояния которого составляют множество . В общем случае не исключается и возможность того, что число состояний n= ¥. Из множества состояний x, выделяется некоторое подмножество состояний , которое не является замкнутыми, в свою очередь, не содержит в себе замкнутых подмножеств.

Если известно, что в какой-то момент времени t=0 процесс находится в одном из состояний , то при процесс хотя один раз перейдет из подмножества состояний в подмножество состояний Z= (X-Y)(ZÌX), которое не является пустым: , где - вероятность непрерывного пребывания системы в момент времени t в состояниях подмножества . Следовательно, в составе подмножества состояний Y нет отдельных состояний или групп без выхода.

Состояния (x₀, x_ℓ,x _ℓ-1)составляют подмножества Z= X-Y, а состояния (x_ℓ… x_n) составляют подмножество Y=X-Z.

Yb

x_o, x₁,…,x_k-1, x_k, x_k+1, … x_ℓ-1, x_ℓ, x_ℓ+1 …, x_{n –1}, x _n

Z=X-Y Y=X-Z

Известно, что в момент t=0 дискретный марковский случайный процесс находился в подмножестве состояний Y

.

Знак ~ поставлен для того, чтобы отличить эти вероятности от обозначения вероятностей пребывания процесса в любом состоянии x, принадлежащим множеству X.

Обозначим Т случайную величину- время блуждания процесса по состояниям подмножества Y до первого выхода из этого подмножества. Ввиду того, что само подмножество состояний Y не является замкнутым и не содержит в себе замкнутых подмножеств, процесс при t®¥ покинет подмножество состояний Y. Время Т отсчитывается от момента t = 0.

Из множества состояний Z=X-Y выделим подмножества состояний Υ_b { x _k … x_ℓ-1, } (Υ_b < Z). К состояниям подмножества Υb Ì Z отнесем лишь те, в которые возможет непосредственный переход из состояний подмножества Υ в состояния подмножества Z=X-Y, т. е. для любого состояния х_ί ÎY_b найдется хотя бы одно такое состояние х _ί ÎY, что R(x_ί,x_ј)=1.

Положим, что для всех ј = k … ℓ-1. В этом случае выход из подмножества состояний Υ_b будет невозможен и состояния подмножества Υ_b = { x k, …. xℓ-1, }будут поглощающими.

Функция распределения случайной величины Т по определению равна

F (t)=p(T<t).

В нашем случае эта вероятность равна t (t > 0) процесс уже покинет состояния, образующие множество Y и, следовательно, попадет в состояния, образующие подмножество Υ_b, так как в преображенном подмножестве состояний Υ+Υ_b процесс никуда попасть не может. Ввиду того, что подмножество состояний Υ_b состоит только из поглощающих состояний, процесс, попав однажды в одно из состояний Υ_b, так там и останется.

Следовательно, функция распределения времени Т равна вероятности того, что к моменту времени t процесс блуждания окажется в одном из состояний, принадлежащих подмножеству Υ_b для преобразованного подмножества состояний Υ+ Υ_b: