Существуют марковские случайные процессы, обладающие эргодическим свойством, которое состоит в том, что по истечении достаточно продолжительного промежутка времени (теоретически при t ® ¥) вероятности состояний системы практически не зависят от того в каком состоянии система находилась в начальный момент времени t =0 и не зависят от самого промежутка времени t. То есть в системах, обладающих эргодическим свойством, должно осуществляться статически однородное блуждание по состояниям.
Для того, чтобы процесс, протекающий в системе был однородным нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние были простейшими, т. е., чтобы элементы матрицы интенсивностей не изменялись во времени. В дальнейшем матрицу интенсивностей, у которой все элементы постоянны, будем называть простейшей матрицей. Марковский случайный процесс, отвечающий такой матрице, назовем простейшим марковским процессом. Размеченный граф состояний системы, у которого все ребра являются постоянными, назовем размеченным графом состояний.
|
|
Однородности процесса недостаточно для того, чтобы он обладал эргодическим свойством. Нужно, чтобы процесс еще обладал свойством транзитивности. При рассмотрении конечного числа состояний в системе свойство транзитивности будет выполняться, если между каждой парой состояний системы xί и xј
существует маршрут
При исследовании эргодических свойств в системе широко применяется оперативный метод решения дифференциальных уравнений для отыскания вероятностей состояний pί (t). Обозначим pί(s) изображение по Карсону - Хэвисайру вероятности pί (t)
Тогда система уравнений для вероятностей состояний
соответствует системе алгебраических уравнений для изображения pί(s):
решив эту систему уравнений относительно неизвестных pί(s) можно по формуле обращения
найти искомые вероятности.
При исследовании стационарного режима вероятности p ί, определяемые из выражения
ℓim pί(t)= pί
t®¥
проще отыскивать из системы линейных однородных алгебраических уравнений
, откуда
(11)
Для эргодической системы с конечным числом состояний n+1 решения уравнений (11) всегда существует и является единственным.
Лекция №21