Получить выражение для расчета абсолютной погрешности плотности твердого тела.
- формула для определения плотности.
Здесь - масса и объём твердого тела.
- оценки массы и объёма, полученные в результате опыта.
Разложим в ряд Тейлора это выражение в окрестности точки :
.
Пренебрегая остаточным членом и учитывая, что
;
,
получим:
.
Лекция № 10
Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
Имеется система двух случайных величин (X,Y) с плотностью распределения f(x,y). Рассмотрим сумму случайных величин X и Y:
,
и найдём закон распределения величины Z.
,
, (1)
здесь D – область, для которой с.в. Z<z.
Дифференцируя выражение по z, получим плотность распределения суммы двух случайных величин:
. (2)
Из соображений симметричности задачи относительно X и Y, можно записать другой вариант этой же формулы:
. (3)
Особое практическое значение имеет случай, когда случайные величины (X,Y) независимы. Тогда говорят о композиции законов распределения.
|
|
Для независимых с.в.:
, (4)
и формулы (2) и (3) принимают вид:
, (5)
. (6)
Композицию законов распределения обозначают:
,
- символ композиции.
Формулы (5) и (6) удобны, когда законы распределения (или по крайней мере, один из них) заданы одной формулой на всем диапазоне значений аргументов (от -до ). В противном случае, удобнее пользоваться непосредственно функцией распределения и продифференцировать эту функцию (т.е. вычислить G(z)).
Пример.
Составить композицию двух законов равномерной плотности, заданных на одном и том же участке (0,1):
при 0<x<1;
при 0<y<1.
Решение.
Найдем функцию распределения G(z) с. в. Z=X+Y.
Рассмотрим случайную точку (x,y) на плоскости x0y. Область её возможных положений – квадрат R со стороной, равной 1 (рис. 1).
Имеем:
где область D – часть квадрата R, лежащая левее и ниже прямой z=x+y.
Очевидно,
,
где SD – площадь области D.
Составим выражение для площади области D при различных значениях z, пользуясь рис.1 и рис.2.
1) при z<0 G(z)=0;
2) при 0<z<1 ;
3) при 1<z<2 ;
4) при z>2 G(z)=1.
Дифференцируя эти выражения, получим:
1) при z<0 g(z)=0;
2) при 0<z<1 g(z)=z;
3) при 1<z<2 g(z)=2-z;
4) при z>2 g(z)=0.
Такой закон носит название «закона Симпсона» или закона треугольника.
Для трех случайных величин, распределенных по равномерному закону, получим график закона плотности распределения, состоящий из трех отрезков- парабол.
При 6 и более случайных величинах – закон распределения будет практически «нормальным», т. е. иметь нормальное распределение.
Об условиях возникновения нормального распределения и о причинах его широкой распространенности в случайных явлениях природы. Оно возникает в тех случаях, когда складывается много независимых (или слабо зависимых) случайных величин x1, x2,…,xn
|
|
,
(причем эти величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивание суммы).
Тогда, каковы бы ни были законы распределения отдельных величин x1, x2,…,xn, закон распределения их суммы X будет близок к нормальному (причем тем ближе, чем больше число слагаемых n).
Это и есть содержание центральной предельной теоремы теории вероятностей.
Лекция № 11