Решение. Ранг матрицы системы r = 2 , следовательно, два из уравнений системы, например, второе и третье, можно отбросить

Ранг матрицы системы r = 2, следовательно, два из уравнений системы, например, второе и третье, можно отбросить.

Общее число групп базисных переменных не более чем , поэтому возможны следующие группы базисных переменных: х₁, х₂; х₁, х₃; х₁, х₄; х₂, х₃; х₂, х₄; х₃, х₄.

Выясним, могут ли переменные х₁, х₂быть базисными. Так как определитель матрицы из коэффициентов при этих неизвестных в системе (**) = -3 ¹ 0, то х₁ и х₂могут быть базисными переменными. Рассуждая аналогично, найдем, что все перечисленные группы переменных могут быть базисными.

Найдем первое базисное решение, взяв в качестве базисных переменных х₁, х₂, а в качестве свободных - переменные х₃, х₄. Приравняв свободные переменные нулю в системе (**), т.е. х₃ = х₄ = 0, получим систему уравнений в виде:

откуда х₁ = , х₂ = -, т.е. первое базисное решение (; -; 0; 0). Аналогично находятся и остальные базисные решения

(6; 0; -2; 0), (; 0; 0; ), (0; -; ; 0), (0; , 0; ), (0; 0; ;).4

3Пример 3.

Решить систему

(*)

и найти ее фундаментальную систему решений.

Решение.

Дана однородная система из 3-х уравнений с 5-ю неизвестными.

1) Однородная система (*) всегда совместна. Определим теперь RgA.

А=~~=А^'.

Þ RgA = 2 Þ Rg A < n (n=5) Þ система (*) имеет бесчисленное множество решений.

2) Найдем все решения системы (*). Перейдем к следующей эквивалентной системе уравнений.

(**),

где

х_1,х₂ - базисные неизвестные;

х₃, х₄, х₅- свободные неизвестные.

От системы (**) переходим к следующей эквивалентной системе

(***)

Решая систему (***) относительно х₁ и х₂ найдем

х₂=

х₁ = -х₃+ х₄ - 3х₅ + 2х₂=

т.к. х₃, х₄, х₅- свободные неизвестные, то можно считать х₃ = a, х₄ = b, x₅ = c.

Тогда общее решение системы (***), а значит и (*) есть

х₁ = x₂= , х₃ = a, x₄ = b, x₅ = c

или

Х =

Проверка общего решения (по исходной системе).

Þ общее решение найдено верно.

Перейдем теперь к поиску фундаментальной системы решений. Из уравнений (***), придавая свободным неизвестным значения х₃ = 1, х₄ = 0, х₅= 0, затем х₃= 0, х₄ = 1, х₅ = 0, и затем х₃ = 0, х₄ = 0, х₅= 1, получаем фундаментальную систему решений