Определение: Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, если существует такое число l, что выполняется равенство:
A.
Число l называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору .
Определение: Матрица называется характеристической матрицей матрицы , многочлен называется характеристическим многочленом матрицы , уравнение называется характеристическим уравнением матрицы .
Пример. Найдите собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение. Составляем характеристическую матрицу :
Находим характеристический многочлен:
Решим характеристическое уравнение:
Подбором находим, что один корень уравнения равен -1. По теореме Безу, которая говорит, что если число является корнем многочлена , то многочлен делится на разность , то есть , где - многочлен. В соответствии с этой теоремой многочлен должен делиться на . Выделим в характеристическом многочлене этот множитель :
Находим корни трехчлена . Они равны -1 и 3. Таким образом,
- корень кратности 2, - корень. Итак, собственные числа матрицы равны , .
|
|
Найдем соответствующие им собственные векторы.
Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение:
что соответствует системе уравнений:
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу системы:
Первую строку, умноженную на числа -2 и -3, прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам:
Меняем местами вторую и третью строки:
Возвращаемся к системе уравнений:
Переменные и оставляем в левой части, а переменную переносим в правую часть:
Полагаем , находим , при .
Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .
Пусть , тогда для собственного вектора получаем матричное уравнение:
что соответствует системе уравнений:
Решаем ее методом Гаусса. Выписываем расширенную матрицу:
Первую строку умножаем на числа 2 и 3 и прибавляем соответственно ко второй и третьей строкам:
Вторую строку умножаем на -1 и прибавляем к третьей:
Возвращаемся к системе уравнений:
Переменные и оставляем в левой части, а переменную переносим в правую часть:
Полагаем , находим , .
Итак, собственному числу соответствует собственный вектор .
Чтобы избавиться от дроби, умножим собственный вектор на 2, получим собственный вектор с тем же самым собственным числом. В итоге собственному числу соответствует собственный вектор .
Ответ: Собственные числа: , , соответствующие собственные векторы: , .