Необходимые и достаточные условия»

 

Цель работы: научиться формулировать прямую и обратную теоремы, выделять необходимые и достаточные условия.

 

Ход выполнения работы:

 

1. Изучить теоретический материал.

2. Получить задание у преподавателя.

3. Выполнить задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

5. Защитить выполненное задание.

 

Краткие теоретические сведения

 

Многие математические теоремы имеют структуру, выражаемую формулой  Утверждение X является условием теоремы, а утверждение Y – её заключением.

Если некоторая теорема имеет форму , то утверждение  является обратным для данной теоремы.

Это утверждение может быть справедливым, и тогда оно является теоремой, обратной для прямой теоремы .

Если же утверждение  не выполняется, то считается, что обратная теорема для теоремы неверна. 

Обратная теорема требует специальной проверки. Это обусловлено тем, что формулы  и , выражающие структуры прямой и обратной теорем, не равносильны. Их неравносильность можно установить также из таблиц истинности данных формул.

С понятиями прямой и обратной теорем тесно связан вопрос о необходимых и достаточных условиях.

Если некоторая математическая теорема имеет структуру, выражаемую формулой , то высказывание Y – необходимое условие для высказывания X (другими словами, если X истинно, то Y с необходимостью должно быть также истинным), а высказывание X – достаточное условие для высказывания Y (другими словами, для того чтобы Y было истинным, достаточно, чтобы истинным было высказывание X).

Для теоремы, сформулированной в виде импликации , кроме обратного утверждения  можно сформулировать противоположное утверждение вида .

Утверждение, противоположное данной теореме, может быть также теоремой (быть истинным высказыванием), но может таковым и не быть.

Это следует из того, что формулы  и  не являются равносильными, в чем нетрудно убедиться, составив таблицы истинности данных формул

Итак, в том случае, когда утверждение  истинно, утверждение  может быть как истинным, так и ложным.

Это означает, что утверждение, противоположное доказанной теореме, в свою очередь нуждается в доказательстве или опровержении.

При составлении противоположных утверждений к теоремам, условия и заключения которых представляют собой конъюнкции или дизъюнкции нескольких высказываний, нужно пользоваться законами де Моргана

Существует еще один вид теорем, связываемых с прямыми теоремами вида . Это теорема, обратная противоположной: . Утверждение, обратное противоположному, действительно будет истинным тогда и только тогда, когда истинно исходное утверждение, что вытекает из равносильности .

Таким образом, предложение, обратное какой-либо противоположной теореме, само является теоремой, и вместо доказательства данной теоремы можно доказывать теорему, обратную противоположной ей. 

Образец выполнения заданий

 

1. Сформулировать утверждения, обратные следующим теоремам:

 

«Если последовательность рациональных чисел сходится, то она фундаментальна»

 

Решение

 

Посылка теоремы X имеет вид: «последовательность рациональных чисел сходится»

Заключение теоремы Y имеет вид: «последовательность рациональных чисел является фундаментальной»

Тогда обратное утверждение будет имеет вид:

 

«Если последовательность рациональных чисел является фундаментальной, то она сходится»  

 

2. Сформулировать предложение, противоположное теореме, приведенным в задаче 1

 

Решение

 

Противоположное утверждение имеет вид:

«Если последовательность рациональных чисел не сходится, то она не является фундаментальной»

 

3. Для теоремы из задачи 1 сформулировать теорему, равносильную ей (теорему, обратную противоположной)

 

Решение

 

Обратное к противоположному утверждение имеет вид:

«Если последовательность рациональных чисел не является фундаментальной, то она не сходится»

 

4. Выделив условие и заключение теоремы, сформулировать её посредством связки «если..., то...»:

 

«Для того чтобы функция была дифференцируемой в некоторой точке, необходимо, чтобы она была непрерывной в этой точке»

 

Решение

 

Необходимое условие X имеет вид «Функция непрерывна в некоторой точке», достаточное условие Y имеет вид «Функция дифференцируема в некоторой точке». Таким образом, теорему можно сформулировать следующим образом:

 

«Если функция непрерывна в некоторой точке, то она дифференцируема в этой точке»

 

Задания

1. Сформулировать утверждения, обратные следующим теоремам:

1) Если последовательность сходится, то она ограничена

2) Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны

3) Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны

4) Если параллелограмм – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны

5) Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии

6) В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов

7) Если последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел

8) Если каждое слагаемое является четным числом, то и сумма – четное число

9) Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы длин его противоположных сторон равны между собой

10) Если свободный член с квадратного уравнения ах ² + bх + с = 0 (а ¹ 0) равен нулю, то один из корней этого уравнения равен нулю.

 

2. Сформулировать предложения, противоположные теоремам, приведенным в задаче 1

 

3. Для каждой теоремы из задачи 1 сформулировать теорему, равносильную ей – теорему, обратную противоположной

 

4. Выделив условие и заключение теоремы, сформулировать её посредством связки «если..., то...»:

 

1) Необходимым свойством прямоугольника является равенство его диагоналей

2) Для делимости многочлена f (x) на линейный двучлен х – а достаточно, чтобы число а было корнем этого многочлена;

3) На 5 делятся целые числа, которые оканчиваются цифр 0 или цифрой 5

4) Две прямые на плоскости тогда параллельны, когда они перпендикулярны одной и той же прямой

5) Комплексные числа равны, только если равны соответственно их действительные и мнимые части

6) Всякое квадратное уравнение с действительными коэффициентами имеет не более двух действительных корней

7) Из того, что четырехугольник – ромб, следует, что каждая из его диагоналей служит его осью симметрии

8) Четность суммы есть необходимое условие четности каждого слагаемого

9) Равенство треугольников есть достаточное условие их равновеликости

10) Для делимости произведения на некоторое число достаточно, чтобы по меньшей мере один из сомножителей делился на это число

 

Контрольные вопросы.

 

1. Что такое прямая теорема

2. Что такое обратная теорема

3. Что представляет собой необходимое условие теоремы.

4. Что представляет собой достаточное условие теоремы.

5. Как сформулировать противоположное утверждение к теореме.

5. Как сформулировать утверждение, обратное к противоположному.