Практическая работа № 7

«ЛОГИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ НАД ПРЕДИКАТАМИ»

Цель работы: научиться выполнять логические операции над предикатами.

 

Ход выполнения работы:

 

1. Изучить теоретический материал.

2. Получить задание у преподавателя.

3. Выполнить задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

5. Защитить выполненное задание.

 

Краткие теоретические сведения

 

n -местный предикат, определенный на множествах  – предложение, содержащее n переменных , и превращающееся в высказывание при подстановке вместо этих переменных любых конкретных элементов из множеств  соответственно.

       Множество истинности предиката , заданного на множествах  – совокупность всех упорядоченных n -систем (), в которых , таких, что данный предикат обращается в истинное высказывание  при подстановке x_i = a_i для всех i = 1, …, n.

Это множество будем обозначать Р ⁺. Таким образом,

 

 

Множество Р ⁺ истинности n -местного предиката  представляет собой n -арное отношение между элементами множеств .

Если предикат Р (х) – одноместный, заданный над множеством М, то его множество истинности Р⁺ является подмножеством множества М (Р ⁺ Í М).

Над предикатами можно проделывать те же самые логические операции, что и над высказываниями: отрицание, конъюнкцию, дизъюнкцию, импликацию, эквиваленцию.

Рассмотрим эти операции в их связи с операциями над множествами

Отрицание n -местного предиката , определенного на множествах – новый n -местный предикат, определенный на тех же множествах, обозначаемый , который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых исходное высказывание превращается в ложное высказывание.

Для n -местного предиката , определенного на множествах , множество истинности его отрицания  совпадает с дополнением множества истинности данного предиката:  .

Конъюнкция n -местного предиката , определенного на множествах  и m -местного предиката , определенного на множествах  – новый (n + m)-местный предикат, определенный на множествах , , обозначаемый , который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых оба исходных предиката превращаются в истинные высказывания.

Для n -местных предикатов  и , определенных на множествах множество истинности конъюнкции совпадает с пересечением множеств истинности исходных предикатов: .

Дизъюнкция n -местного предиката , определенного на множествах  и m -местного предиката , определенного на множествах  – новый (n + m)-местный предикат, определенный на множествах , , обозначаемый , который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых в истинное высказывание превращается по меньшей мере один из исходных предикатов.

Для n -местных предикатов  и , определенных на множествах множество истинности дизъюнкции совпадает с объединением множеств истинности исходных предикатов: .

Импликация определяется как такой предикат, что для любых предметов  и  высказывание  является импликацией высказываний  и .

Эквиваленция определяется как такой предикат, что для любых предметов  и  высказывание  является эквиваленцией высказываний  и . 

 

Образец выполнения

 

1. Найти множество истинности предиката , полученного в результате указанной логической операции над предикатами  и . Предикаты рассматриваются на множестве

 

,  

Решение

 

Множество истинности предиката R(x) имеет вид R⁺ = {–10, –9, –8, –7, –6, –5, –4, – 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4}

Множество истинности предиката S(x) имеет вид S⁺ = {–2, –1, 0, 1, 2}

Предикат T получен в результате конъюнкции предикатов R и S, поэтому его множество истинности является пересечением множеств истинности предикатов R и S. Отсюда

 

T = {–2, –1, 0, 1, 2}

 

2. Изобразить на плоскости множество истинности предиката  заданного на множестве  

 

 

Решение.

 

Область истинности первого предиката представляет собой часть плоскости, расположенную выше прямой x + y = 5 (не включая саму прямую). Область истинности второго предиката представляет собой часть плоскости, расположенную ниже прямой 2x – 3y = 6 (не включая саму прямую). Предикат T получен в результате дизъюнкции исходных предикатов, поэтому его область истинности является объединением областей истинности исходных предикатов  

 

 

Задания.

 

1. Найти множество истинности предиката , полученного в результате указанной логической операции над предикатами  и . Предикаты рассматриваются на множестве

 

1) ,  

2) ,  

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

 

2. Изобразить на плоскости множество истинности предиката  заданного на множестве  

 

1)

2)  

3)

4)   

5)

6)          

7)

8)    

9)

 

Контрольные вопросы

 

1. Что такое предикат.

2. Что такое множество истинности предиката.

3. Перечислить и охарактеризовать основные операции над предикатами.

4. Как определяются множества истинности предикатов, полученных в результате логических операций.