Практическая работа № 8

«КВАНТОРЫ. ОТРИЦАНИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЙ С КВАНТОРАМИ»

Цель работы: освоить приёмы работы с кванторами, научиться строить отрицание предложений с кванторами.

Специфика природы предикатов позволяет ввести такие операции над ними, которые не имеют аналогов среди операций над высказываниями.

Имеются в виду две кванторные операции над предикатами (или операции квантификации) – квантор общности и квантор существования.

Известно, что для превращения одноместного предиката в высказывание нужно подставить вместо его переменной какой-нибудь конкретный предмет из области задания

предиката.

Имеется еще один способ для такого превращения – это применение к предикату операций связывания квантором общности или квантором существования.

Каждая из этих операций ставит в соответствие одноместному предикату некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от исходного предиката.

Операция связывания квантором общности – правило, по которому каждому одноместному предикату Р (х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р (х) тождественно истинен, и ложно в противном случае.

В выражении переменная x уже перестает быть переменной в обычном смысле этого слова, вместо нее невозможно подставлять какие бы то ни было конкретные значения. Считается, что переменная x связана действием квантора.

Если одноместный предикат Р (х) задан на конечном множестве , то можно показать, что высказывание эквивалентно (имеет то же логическое значение) конъюнкции .

В самом деле, по определению истинность высказывания означает, что предикат тождественно истинен, при этом каждое из высказываний , в которые этот предикат превращается, истинно. А это равносильно истинности конъюнкции данных высказываний.

Следовательно, для предикатов, заданных на конечном множестве, операция связывания квантором общности может быть выражена через конъюнкцию.

Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого сделать нельзя, и в этом случае операция связывания квантором общности является существенно новой.

Можно подметить еще одну особенность операции связывания квантором общности по сравнению с ранее введёнными операциями над предикатами.

Те операции ставили в соответствие одному или двум предикатам новый предикат, а операция связывания квантором общности сопоставляет предикату высказывание. Этот факт можно объяснить следующим:

1) каждое высказывание для достижения большей общности можно рассматривать как предикат, содержащий 0 предметных переменных (как нульместный предикат)

2) квантор общности применяется пока лишь к одноместным предикатам.

Операция связывания квантором общности по переменной х ₁ – правило, по которому каждому n -местному (n ³ 2) предикату , определенному на множествах , ставится в соответствие новый (n – 1)-местный предикат, обозначаемый (запись читается: «для всех х ₁ »), который для любых предметов превращается в высказывание , истинное в том и только в том случае, когда одноместный предикат

, определенный на множестве М ₁ тождественно истинен, и ложное в противном случае.

К (n – 1)-местному предикату , зависящему от переменных х ₂..., х_n, можно снова применить операцию связывания квантором общности по одной из свободных переменных. В результате получится (n – 2)-местный предикат и далее аналогично.

Операция связывания квантором существования – правило, по которому каждому одноместному предикату Р (х), определенному на множестве М, ставится в соответствие высказывание, обозначаемое (запись читается: «существует [значение] х, такое, что Р (х) [истинное высказывание]»), которое ложно в том и только в том случае, когда Р (х) тождественно ложен, и истинно в противном случае

В выражении переменная х также перестает быть переменной в обычном смысле слова: это – связанная переменная.

Если одноместный предикат Р (х) задан на конечном множестве , то можно показать, что высказывание эквивалентно (имеет то же логическое значение) дизъюнкции .

Таким образом, для предикатов, заданных на конечном множестве, операция связывания квантором существования может быть выражена через дизъюнкцию.

Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого сделать нельзя, и в этом случае операция связывания квантором существования является существенно новой.

Операция связывания квантором существования по переменной х ₁ – правило, по которому каждому n -местному (n ³ 2) предикату , определенному на множествах , ставится в соответствие новый (n – 1)-местный предикат, обозначаемый (запись читается: «существует такой х ₁, что »), который для любых предметов превращается в высказывание , ложное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве М ₁ тождественно ложен, и истинное в противном случае.

К (n – 1)-местному предикату , зависящему от переменных х ₂..., х_n, можно снова применить одну из операций квантификации – квантор общности или квантор существования по одной из свободных переменных.

В результате получим (n – 2)-местные предикаты или .

Часто в математической практике обороты следующего вида: «Всякий объект, обладающий свойством Р, обладает также и свойством Q» и «Среди объектов, обладающих свойством Р, существует объект, обладающий также и свойством Q».

Первое высказывание равнозначно по смыслу высказыванию «Всякий объект, если он обладает свойством Р, то он обладает и свойством Q», которое на языке логики предикатов записывается так:

Сопоставление двум данным одноместным предикатам Р (х) и Q (x) высказывания представляет собой операцию связывания ограниченным квантором общности, а само высказывание иногда записывают в виде

Символ " Р (х) является ограниченным квантором общности.

Второе из приведенных ранее высказываний равнозначно по смыслу высказыванию «Существует объект, обладающий свойством Р и обладающий свойством Q», которое на языке логики предикатов записывается так:

Сопоставление двум данным одноместным предикатам Р (х) и Q (x) высказывания представляет собой операцию связывания ограниченным квантором существования, а само высказывание иногда обозначается

Символ $ Р (х) является ограниченным квантором существования.

Чтобы построить отрицание предложений с кванторами, нужно:

1) квантор общности заменить на квантор существования или наоборот

2) предикат заменить его отрицанием

Если задана словесная формулировка высказывания с квантором, то нужно:

1) слово «любой» на слово «существует» и наоборот

2) поставить перед глаголом частицу «не»

Ход выполнения работы:

1. Изучить теоретический материал.

2. Получить задание у преподавателя.

3. Выполнить задание.

4. Ответить на контрольные вопросы.

5. Защитить выполненное задание.

Образец выполнения

1. Определить, истинным или ложным является высказывание, считая, что все переменные пробегают множество действительных чисел:

Решение

Двухместный предикат «x + y = 7» задан на множестве действительных чисел. Его можно превратить в высказывание путём применения операций квантификации. Применим сначала к двухместному предикату «x + y = 7» операцию взятия квантора существования по переменной y. получим одноместный предикат «($y)(x + y = 7)» от переменной x. В полученном выражении переменная y связана (вместо y ничего нельзя подставлять). Подставлять можно только вместо переменной x, тогда одноместный предикат превратится в высказывание. Если вместо x подставлять произвольные значения, то предикат всегда будет превращаться в истинное высказывание. Это означает, что высказывание ("x) ($y)(x + y = 7) является истинным

2. Построить отрицание предложения с кванторами: