1) ;
2) , в частности ;
3) ;
4) , если ;
5) , если и .
Формулы дифференцирования
в частности,
в частности,
в частности,
Общая схема исследования функции и построения
Графика функции
Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.
1. Найти область определения функции.
2. Найти (если это можно) точки пересечения графика с осями координат.
3. Найти интервалы знакопостоянства функции (промежутки, на которых >0 или <0).
4. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.
5. Найти асимптоты графика функции.
6. Найти интервалы монотонности функции.
7. Найти экстремумы функции.
8. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба графика функции.
Вариант 0. Задание 1. Раскрыть неопределённость и найти предел .
Решение.
Здесь старшая степень переменной n равна 2. Поэтому почленно делим числитель и знаменатель на :
.
Получаем ответ: предел данной функции при переменной, стремящейся к бесконечности, равен .
|
|
Задание 2. Исследовать функцию
и построить её график.
Решение.
1. Область определения функции – вся числовая прямая. Множеством значений данной функции, как и всякой показательной функции, служит интервал ]0, +∞[. Поэтому график функции расположен выше оси Ox,
2. Напомним: из школьного курса известно, что функция y = f (x) называется чётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
График чётной функции симметричен относительно оси Oy, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; y).
Функция y = f (x) называется нечётной, если
для всех x, принадлежащих области определения функции.
График нечётной функции симметричен относительно начала координат, так как, по определению, вместе с любой своей точкой (x; y) он содержит и точку (-x; -y).
Наша исследуемая функция чётная, так как
её график симметричен относительно оси Oy. Поэтому исследование можно выполнять только для ]0, +∞[.
3. Вертикальных асимптот у графика нет, поскольку функция непрерывна на всей числовой прямой. Горизонтальной асимптотой является ось Ox, так как
Поскольку кривая имеет двустороннюю горизонтальную асимптоту y = 0, у неё не может быть наклонных асиптот.
4. Находим
Из уравнения
Имеем
Так как при переходе через значение x = 0 меняет знак с плюса на минус, то функция в точке x = 0 переходит от возрастания к убыванию, а (0; 1) – точка максимума. Касательная к кривой в этой точке горизонтальна, поскольку
5. Находим
Из уравнения
получаем
т.е.
Учитывая чётность функции, исследуем знаки в окрестности только точки
|
|
Следовательно, при x = 1 кривая меняет выпуклость на вогнутость. Так как
То
точка перегиба кривой. Угловой коэффициент касательной в кривой в этой точке
поэтому в точке перегиба касательная образует с осью Ox тупой угол.
6. График не пересекает оси Ox, поскольку он расположен выше неё. Найдём точки пересечения кривой с осью Oy: полагая x = 0, имеем
Тем самым получим точку (0; 1) графика, которая совпадает с точкой максимума.
7. Составим сводную таблицу исследования функции, куда внесём все характерные точки и интервалы между ними. Учитывая чётность функции, получаем следующую таблицу:
Особенности графика | ||||
[-1, 0[ | + | - | Возрастает | Выпуклый |
0 | 0 | - | 1 | (0; 1) – точка максимума |
]0, 1[ | - | - | Убывает | Выпуклый |
1 | - | 0 | - точка перегиба, образует с осью Ox тупой угол | |
]1, +∞[ | - | + | Убывает | Вогнутый |
+∞ | - | + | y = 0 – горизонтальная асимптота |
8. Используя результаты исследования, строим график функции