Исследование напряженного состояния материала в точке сводится к нахождению напряжений, возникающих на наклонных площадках, при известных напряжениях на гранях выделенного элемента. Выделим элемент бруса (рис. 2.7). Пусть по двум противоположным граням возникают нормальные напряжения σ, а остальные грани свободны от напряжений, т. е. рассмотрим случай одноосного напряженного состояния.
Найдем напряжения по некоторому наклонному сечению тп, внешняя нормаль к которому составляет с осью стержня угол а. За положительное направление отсчета угла примем направление против хода часовой стрелки. Рассечем мысленно этим сечением стержень на две части и рассмотрим равновесие одной из частей, например, нижней (рис. 2.7).
Действие отброшенной части стержня на оставшуюся заменим напряжениями Р, которые примем равномерно распределенными по проведенному сечению. Площадь наклонного сечения будет
где dA — площадь поперечного сечения элемента бруса.
Для равновесия отсеченной части напряжения Ра должны быть направлены параллельно оси стержня и уравновешивать нормальную силу. Уравнение равновесия имеет вид
|
|
Отсюда
Напряжение Рα, как известно, называется полным напряжением.
Раскладывая вектор Рα в какой-либо точке наклонного сечения на нормальную и касательную составляющие (см. рис. 2.7), найдем составляющие полного напряжения, т. е. нормальное напряжение а и касательное напряжение . Подставляя в эти выражения вместо Рα его значение по формуле (2.11), получим
Установим следующие правила знаков относительно напряжений и . Растягивающие нормальные напряжения, т. е. совпадающие с направлением внешней нормали, будем считать положительными. Касательное напряжение будем считать положительным, если при повороте вектора против хода часовой стрелки на 90° его направление совпадает с направлением внешней нормали. Нетрудно видеть, что в рассмотренном нами случае напряжения и являются положительными.
Из формул (2.12) и (2.13) следует, что в элементарных площадках, лежащих на некотором наклонном сечении, возникают как нормальные, так и касательные напряжения. Исследуем их изменение в зависимости от угла α. При α = 0° = σ = σmax, т. е. в поперечных сечениях, возникают максимальные нормальные напряжения. При α = 90° (по площадкам, параллельным оси стержня) = 0 и = 0, т. е. продольные слои растянутого (или сжатого) стержня не имеют друг с другом силового взаимодействия по боковым поверхностям. Поэтому растяжение стержня можно уподобить растяжению пучка не связанных между собой параллельных нитей. При α = 45° т. е. максимальные касательные напряжения действуют по сечениям, наклоненным под углом 45° к оси стержня, причем величина максимального касательного напряжения равна половине нормального, возникающего в поперечных сечениях.
|
|
Установим в заключение связь между касательными напряжениями, возникающими на двух взаимно перпендикулярных площадках. Для этой цели рассмотрим две такие площадки, определяемые соответственно углами α и β, причем β = α + 90° (см. рис. 2.8). Для площадки, наклоненной под углом α по формуле (2.12) имеем . Для площадки, наклоненной под углом β = α + 90°, по той же формуле имеем
Рис. 2.8.
Сопоставляя выражения для и , можем сделать следующий важный вывод:
т. е. касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам равны по величине и противоположны по знаку. Это положение является частным случаем закона парности касательных напряжений.
Рассмотрим теперь более общий случай плоского (двухосного) напряженного состояния, когда отличны от нуля два главных напряжения σ1, и σ2 (рис. 2.9).
Положительный угол α между направлением σ1, и нормалью к произвольной площадке будем по-прежнему отсчитывать против хода часовой стрелки. Между направлением напряжения σ2 и площадкой угол равен (α + 90°).
Напряжения и в произвольном наклонном сечении вычисляют по формулам (2.12), (2.13), суммируя напряжения от действия σ1 с напряжением от действия σ2 (при замене угла α на угол (α + 90°)). В результате получим
Рис. 2.9
Легко убедиться в том, что напряжения и в наклонном сечении, перпендикулярном рассмотренному, могут быть подсчитаны по формулам
Сравнивая (2.14) и (2.18), мы видим, что закон парности касательных напряжений сохраняет свою силу и для двухосного напряженного состояния.
Рассмотрим важные частные случаи.
1-й случай, σ1 = σ2 = σ (рис. 2.10, а).
Рис. 2.10
Из формул (2.14) следует, что на всех площадках, проходящих через исследуемую точку, касательное напряжение равно нулю, а нормальное напряжение имеет одно и то же значение . Такое напряженное состояние называется равномерным двухосным растяжением.
2-й случай. Напряженное состояние (рис. 2.10, б) характеризуется главными напряжениями σ1 = σ и σ3 = —σ.
Здесь σ2 = 0. Определяя по формулам (2.14) напряжения в сечениях, одинаково наклоненных к направлениям σ1 и σ3, получим = 0, a = ±σ. Такое напряженное состояние называется чистым сдвигом.
Приведем без вывода результаты решения обратной задачи, когда требуется по значениям заданных нормальных , и касательных , напряжений, действующих по граням элемента, определить значения главных напряжений и положение основных площадок. Формулы для определения главных напряжений σmax, σmjn и угла наклона основных площадок α0 имеют следующий вид: