Можно выделить два основных типа динамических эконометрических моделей. К моделям первого типа относятся модели авторегрессии и модели с распределенным лагом, в которых значения переменной за прошлые периоды времени (лаговые переменные) непосредственно включены в модель. Модели второго типа учитывают динамическую информацию в неявном виде. В эти модели включены переменные, характеризующие ожидаемый или желаемый уровень результата, или одного из факторов в момент времени t. Этот уровень считается неизвестным и определяется экономическими единицами с учетом информации, которой они располагают в момент (t — 1).
В зависимости от способа определения ожидаемых значений показателей различают модели неполной корректировки, адаптивных ожиданий и рациональных ожиданий. Оценка параметров этих моделей сводится к оценке параметров моделей авторегрессии.
Эконометрическое моделирование охарактеризованных выше процессов осуществляется с применением моделей, содержащих не только текущие, но и лаговые значения факторных переменных. Эти модели называются моделями с распределенным лагом. Модель вида является примером модели с распределенным лагом.
|
|
Наряду с лаговыми значениями независимых, или факторных, переменных на величину зависимой переменной текущего периода могут оказывать влияние ее значения в прошлые моменты или периоды времени. Например, потребление в момент времени t формируется под воздействием дохода текущего и предыдущего периодов, а также объема потребления прошлых периодов, например потребления в период (t — 1). Эти процессы обычно описывают с помощью моделей регрессии, содержащих в качестве факторов лаговые значения зависимой переменной, которые называются моделями авторегрессии. Модель вида относится к моделям авторегрессии.
Рассмотрим модель с распределенным лагом в ее общем виде в предположении, что максимальная величина лага конечна:
Эта модель говорит о том, что если в некоторый момент времени t происходит изменение независимой переменной xt то это изменение будет влиять на значения переменной у в течение l следующих моментов времени.
Коэффициент регрессии b 0 при переменной xt характеризует среднее абсолютное изменение yt при изменении xt на 1 ед. своего измерения в некоторый фиксированный момент времени t, без учета воздействия лаговых значений фактора х. Этот коэффициент называют краткосрочным мультипликатором.
В момент (t + 1) совокупное воздействие факторной переменной xt на результату, составит (bо + b1) усл. ед., в момент (t+2) это воздействие можно охарактеризовать суммой (bо + b1 + b2) и т. д. Полученные таким образом суммы называют промежуточными мультипликаторами.
|
|
С учетом конечной величины лага можно сказать, что изменение переменной xt в момент t на 1 усл. ед. приведет к общему изменению результата через / моментов времени на (b о + b 1 +...+ bl) абсолютных единиц.
Введем следующее обозначение:
bо + b 1+...+ bl = b.
Величину b называют долгосрочным мультипликатором. Он показывает абсолютное изменение в долгосрочном периоде t + l результата у под влиянием изменения на 1 ед. фактора х.
Предположим β j = bj/b,j = O:l.
Назовем полученные величины относительными коэффициентами модели с распределенным лагом. Если все коэффициенты bj имеют одинаковые знаки, то для любого j
О < βj; < 1 и
В этом случае относительные коэффициенты βj являются весами для соответствующих коэффициентов b j. Каждый из них измеряет долю общего изменения результативного признака в момент времени (t+j).
Зная величины βj, с помощью стандартных формул можно определить еще две важные характеристики модели множественной регрессии: величину среднего лага и медианного лага. Средний лаг определяется по формуле средней арифметической взвешенной:
и представляет собой средний период, в течение которого будет происходить изменение результата под воздействием изменения фактора в момент времени t. Небольшая величина среднего лага свидетельствует об относительно быстром реагировании результата на изменение фактора, тогда как высокое его значение говорит о том, что воздействие фактора на результат будет сказываться в течение длительного периода времени. Медианный лаг — это величина лага, для которого
Это тот период времени, в течение которого с момента времени t будет реализована половина общего воздействия фактора на результат.
Применение обычного МНК к таким моделям в большинстве случаев затруднительно по следующим причинам.
Во-первых, текущие и лаговые значения независимой переменной, как правило, тесно связаны друг с другом. Тем самым оценка параметров модели проводится в условиях высокой мультиколлинеарности факторов.
Во-вторых, при большой величине лага снижается число наблюдений, по которому строится модель, и увеличивается число ее факторных признаков. Это ведет к потере числа степеней свободы в модели.
В-третьих, в моделях с распределенным лагом часто возникает проблема автокорреляции остатков. Вышеуказанные обстоятельства приводят к значительной неопределенности относительно оценок параметров модели, снижению их точности и получению неэффективных оценок. Чистое влияние факторов на результат в таких условиях выявить невозможно. Поэтому на практике параметры моделей с распределенным лагом проводят в предположении определенных ограничений на коэффициенты регрессии и в условиях выбранной структуры лага.
Обратимся теперь к модели авторегрессии. Пусть имеется следующая модель:
Как и в модели с распределенным лагом, b0 в этой модели характеризует краткосрочное изменение yt под воздействием изменения хt на 1 ед. Однако промежуточные и долгосрочный мультипликаторы в моделях авторегрессии несколько иные. К моменту времени (t + 1) результат изменился под воздействием изменения изучаемого фактора в момент времени t на ед., а под воздействием своего изменения в непосредственно предшествующий момент времени — на с1 ед. Таким образом, общее абсолютное изменение результата в момент (t + 1) составит ед. Аналогично в момент времени (t + 2) абсолютное изменение результата составит ед. и т. д. Следовательно, долгосрочный мультипликатор в модели авторегрессии можно рассчитать как сумму краткосрочного и промежуточных мультипликаторов:
Учитывая, что практически во все модели авторегрессии вводится так называемое условие стабильности, состоящее в том, что коэффициент регрессии при переменной по абсолютной величине меньше единицы(|c1| < 1), соотношение (7.8) можно преобразовать следующим образом:
|
|
где
Отметим, что такая интерпретация коэффициентов модели авторегрессии и расчет долгосрочного мультипликатора основаны на предпосылке о наличии бесконечного лага в воздействии текущего значения зависимой переменной на ее будущие значения.
Процедура применения метода Алмон для расчета параметров модели с распределенным лагом выглядит следующим образом.
1. Определяется максимальная величина лага l.
2. Определяется степень полинома к, описывающего структуру лага.
3. По соотношениям (7.14) рассчитываются значения переменных z 0,..., z k.
4. Определяются параметры уравнения линейной регрессии (7.15).
5.С помощью соотношений (7.11) рассчитываются параметры исходной модели с распределенным лагом.
Применение метода Алмон сопряжено с рядом проблем.
Во-первых, величина лага l должна быть известна заранее. При ее определении лучше исходить из максимально возможного лага, чем ограничиваться лагами небольшой длины. Выбор меньшего лага, чем его реальное значение, приведет к тому, что в модели регрессии не будет учтен фактор, оказывающий значительное влияние на результат, т. е. к неверной спецификации модели. Влияние этого фактора в такой модели будет выражено в остатках. Тем самым в модели не будут соблюдаться предпосылки МНК о случайности остатков, а полученные оценки ее параметров окажутся неэффективными и смещенными. Выбор большей величины лага по сравнению с ее реальным значением будет означать включение в модель статистически незначимого фактора и снижение эффективности полученных оценок, однако эти оценки все же будут несмещенными.
Существует несколько практических подходов к определению реальной величины лага, например построение нескольких уравнений регрессии и выбор наилучшего из этих уравнений или применение формальных критериев, например критерия Шварца. Однако наиболее простым способом является измерение тесноты связи между результатом и лаговыми значениями фактора. Кроме того, оптимальную величину лага можно приближенно определить на основе априорной информации экономической теории или проведенных ранее эмпирических исследований.
|
|
Во-вторых, необходимо установить степень полинома к. Обычно на практике ограничиваются рассмотрением полиномов 2-й и 3-й степени, применяя следующее простое правило: выбранная степень полинома к должна быть на единицу больше числа экстремумов в структуре лага. Если априорную информацию о структуре лага получить невозможно, величину к проще всего определить путем сравнения моделей, построенных для различных значений k, и выбора наилучшей модели.
В-третьих, переменные z, которые определяются как линейные комбинации исходных переменных х, будут коррелировать между собой в случаях, когда наблюдается высокая связь между самими исходными переменными. Поэтому оценку параметров модели приходится проводить в условиях мультиколлинеарности факторов. Однако мультиколлинеарность факторов z0,..., Zk в модели сказывается на оценках параметров b0,..., b l в несколько меньшей степени, чем если бы эти оценки были получены путем применения обычного МНК непосредственно к модели в условиях мультиколлинеарности факторов xt..., xt-l. Это связано с тем, что в модели мультиколлинеарность ведет к снижению эффективности оценок с0,..., сk поэтому каждый из параметров b 0,..., bl которые определяются как линейные комбинации оценок c 0,..., ск, будет представлять собой более точную оценку, а стандартные ошибки этих параметров не будут превышать стандартные ошибки параметров, полученных по модели обычным МНК.
Метод Алмон имеет два неоспоримых преимущества.
• Он достаточно универсален и может быть применен для моделирования процессов, которые характеризуются разнообразными структурами лагов.
• При относительно небольшом количестве переменных (обычно выбирают к = 2 или к = 3), которое не приводит к потере значительного числа степеней свободы, с помощью метода Алмон можно построить моде ли с распределенным лагом любой длины.
Рассмотренные выше модели были построены в предположении конечной величины лага /. Предположим теперь, что для описания некоторого процесса используется модель с бесконечным лагом вида: yt = а = b о -xt + b 1 ·xt-1 + b 2 ·xt-2 +... +
Очевидно, что параметры такой модели обычным МНК или с помощью иных стандартных статистических методов определить нельзя, поскольку модель включает бесконечное число факторных переменных. Однако, приняв определенные допущения относительно структуры лага, оценки ее параметров все же можно получить. Эти допущения состоят в наличии геометрической структуры лага, т. е. такой структуры, когда воздействия лаговых значений фактора на результат уменьшаются с увеличением величины лага в геометрической прогрессии.
Впервые изложенный в этом разделе подход к оценке параметров моделей с распределенным лагом типа (7.16) был предложен Л.М. Койком. Койк предположил, что существует некоторый постоянный темп λ (0 < λ < 1) уменьшения во времени лаговых воздействий фактора на результат. Если, например, в период /результат изменялся под воздействием изменения фактора в этот же период времени на b0 ед., то под воздействием изменения фактора, имевшего место в период (t — 1), результат изменится на b0 · λ ед.; в период (t - 2) - на b0 · λ · λ = b0 · λ ед., и т. д. Для некоторого периода (t — l) это изменение результата составит b0 · λ ед. В более общем виде можно записать:
bj = b0 λ; j = 0, 1,2,..., 0<λ<1.
Ограничение на значения λ > 0 обеспечивает одинаковые знаки для всех коэффициентов bj > 0, а ограничение λ < 1 означает, что с увеличением лага значения параметров модели убывают в геометрической прогрессии. Чем ближе λ к 0, тем выше темп снижения воздействия фактора на результат во времени и тем большая доля воздействия на результат приходится на текущие значения фактора хt
Описанный выше алгоритм получил название преобразования Койка. Это преобразование позволяет перейти от модели с бесконечными распределенными лагами к модели авторегрессии, содержащей две независимые переменные xt и yt-1.
Одним из возможных методов расчета параметров уравнения авторегрессии является метод инструментальных переменных. Сущность этого метода состоит в том, чтобы заменить переменную из правой части модели, для которой нарушаются предпосылки МНК, на новую переменную, включение которой в модель регрессии не приводит к нарушению его предпосылок. Применительно к моделям авторегрессии необходимо удалить из правой части модели переменную , Искомая новая переменная, которая будет введена в модель вместо , должна иметь два свойства. Во-первых, она должна тесно коррелировать с , во-вторых, она не должна коррелировать с остатками .