Пульсовые волны в расправленных артериях

3.1. Трехмерные уравнения (неразрывности и импульса – Навье-Стокса)

 

Уравнение Навье-Стокса для несжимаемой жидкости имеет вид:

 

 

3.2. Одномерные уравнения

                                                 

 

Сила трения в расчете на единицу длины трубки и единицу сечения fr = - τL/s

 

Параболический профиль, течение Пуазейля       τL = 8πηu

Турбулентный поток                                                τL = ρK_tu²

 

Уравнение неразрывности

∂S/∂t + ∂(uS)/ ∂x = 0

 

Закон трубки

S = S₀ + ∂S/∂P * dP

 

3.2. Уравнения для линейного, невязкого варианта

 

Уравнение движения                                                       

Уравнение неразрывности ∂S/∂t = - S₀ ∂u/ ∂x

 

 

3.3. Вывод формулы Моэнса-Кортевега

Уравнение неразрывности + закон трубки

(∂S/∂P)₀ ∂P/∂t + S₀ ∂u/∂x = 0                              t

баланс импульса

∂u/∂t = - 1/ ρ ∂P/∂x                                                   x

 Получаем волновое уравнение

∂²P/∂t² = S₀ /(ρ (∂S/∂P)₀) ∂²P/∂x²

с = (S₀ /ρ * 1/(∂S/∂P)₀)^1/2 =  (Eh/ ρd) ^1/2

 

3.4.  Рассматривали следующую упрощенную ситуацию:

1) Предположение о линейности. Есть нелинейные эффекты: 

- выбросили квадрат скорости (конвективные ускорения), это возможно, если они <<∂u/∂t, для этого u/c << 1. реально u/c~0.4

- нелинейность S-P. dP/P ~ 0.2. Искажает форму, но мало влияет на скорость.  

2) Нулевая вязкость: если α >> 1, то можно пренебрегать вязкостью. Аорта человека  α ≈ 20, α = (d/2)*(ω/ ν)1/2

т.е. можно.

3) Стенка чисто упругая

4) Жидкость несжимаемая

 

3.5. Роль отражений в точках ветвления, импеданс согласованных сосудов

 

P = zQ

 

z = ρc/S

 

P_отр/P_пад = (Z₀^-1 - (Z₁^-1 + Z₂^-1))/(Z₀^-1 + (Z₁^-1 + Z₂^-1)) = R

3.6. Нестационарное течение в очень длинной трубке

 

P=P₀*sin ωt

Стационарное течение – параболический профиль (течение Пуазейля).

 

Нестационарное P=P₀*sin ωt

α = (d/2)*(ω/ ν)1/2

 

J. R. Womersley. Method for the calculation of velocity, rate of flow and viscous drag in arteries when the pressure gradient is known // J Physiol. 1955 Mar 28; 127(3): 553–563.

 

 

^{Каро и соавт., 1981.}