Розглянемо послідовність комплексних чисел та побудуємо ряд . Частковою сумою цього ряду називається сума .
Якщо існують скінченні границі та , то величина також має скінченну границю , ряд називається збіжним, а число – сумою цього ряду.
Ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд .
Необхідна умова збіжності. Якщо ряд збігається, то .
Наслідок. Якщо , то ряд розбігається.
Ознака збіжності Даламбера. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.
Ознака збіжності Коші. Нехай . Тоді, якщо , ряд є абсолютно збіжним, а якщо , то та ряд розбігається.
Функціональний ряд структури називається степеневим. Область збіжності такого ряду (тобто множину всіх значень змінної, для яких збігається відповідний числовий ряд) складають внутрішні точки кругу збіжності , та, можливо, деякі або всі точки кола , яке обмежує цей круг. У внутрішніх точках круга збіжності ряд є абсолютно збіжним, ззовні кола ряд розбігається. Радіус збіжності обчислюється за формулами
|
|
або .
Круг збіжності можна також можна знайти безпосередньо з умов або , де та .
Розвинення функцій в ряди Тейлора та Лорана.