Розглянемо функцію дійсної змінної , яка відповідає таким умовам:
1. При .
2. При функція на будь-якому скінченному проміжку вісі має не більше ніж скінченну кількість точок розриву першого роду.
3. При функція має обмежену степінь зростання, тобто існують такі додатні константи та , що для всіх
.
Інтегральне перетворення Лапласа ставить у відповідність такій функції
функцію комплексної змінної за допомогою співвідношення
.
Функція називається зображенням Лапласа функції , а функція – оригіналом функції . Зв’язок між функціями та будемо символічно позначати таким чином:
.
Основні властивості інтегрального перетворення Лапласа.
1. Лінійність зображення .
2. Теорема подібності .
3. Диференціювання оригіналу ;
.
4. Диференціювання зображення .
|
|
5. Інтегрування оригіналу
6. Інтегрування зображення .
7. Теорема спізнення .
8. Теорема зміщення
9. Теорема множення (теорема Бореля) .
Зображення Лапласа деяких функцій
Перетворення Лапласа застосовується для функцій, які при від’ємному значенні аргумента дорівнюють нулю. Такі функції можуть бути записані у вигляді , де – функція Хевісайда, а – деяка функція. У подальшому будемо у більшості випадків випускати множник , маючи на увазі його наявність.
Наведемо зображення Лапласа функцій, які найчастіше зустрічаються при розв’язуванні нескладних задач.
; ;
; ;
; ;
; .
Існують спеціальні таблиці зображень елементарних та спеціальних функцій, які наведені у посібниках з інтегральних перетворень та довідниках.
Якщо функція є кусочно неперервною, наприклад, має вигляд , її можна записати за допомогою функції Хевісайда у вигляді , або . Тоді відповідне зображення має вигляд . Зокрема, зображенням функції буде .