Среднее и дисперсия случайной величины - это числа, которые определяют такие свойства ее плотности вероятности как положение центра и эффективную ширину. Очевидно, эти два числа не отражают всех особенностей плотности, в частности, степень симметрии или асимметрии плотности относительно математического ожидания - это новая характеристика, которую можно определить как некоторое число.
Для любой симметричной плотности центральные моменты нечетного порядка равны нулю (доказательство приводится ниже). Поэтому простейший среди них - центральный момент третьего порядка может характеризовать асимметрию плотности распределения:
, (43.1)
где - математическое ожидание, - центральный момент - го порядка.
Асимметрию принято характеризовать коэффициентом асимметрии
, (43.2)
где - дисперсия случайной величины .
Рассмотрим доказательство утверждения о том, что для симметричной плотности центральные моменты нечетных порядков равны нулю.
|
|
1). Пусть - симметричная функция относительно некоторой точки , тогда
, (43.3)
поскольку - антисимметричная функция относительно . Отсюда следует:
. (43.4)
Таким образом, если - симметричная функция относительно точки , то - точка симметрии плотности вероятности – это математическое ожидание случайной величины.
2). Пусть - нечетное целое и - симметричная функция, тогда , поскольку - симметрична относительно математического ожидания , и - антисимметрична относительно .
Выражение (43.2) для можно представить через начальные моменты , . Из определения следует:
.
Аналогично центральный момент третьего порядка
.
Пусть случайная величина имеет плотность вероятности:
, (43.6)
(распределение Рэлея), тогда вычисление и подстановка в (43.2) приводит к результату .
Плотность вероятности с имеет более тяжелый «хвост» в области больших положительных аргументов, и наоборот, при более тяжелым является «хвост» плотности в области отрицательных аргументов.
Коэффициент эксцесса
Характеристикой степени сглаженности вершины плотности вероятности является число
, (43.1)
называемое коэффициентом эксцесса.
Определим для нормального распределения. Поскольку , то осталось вычислить
.
Пусть , тогда
.
Вычислим интеграл способом «по частям»:
.
Таким образом, . Подставим полученные результаты в (43.6), тогда .
|
|
Если , то плотность вероятности имеет более высокую и более острую вершину, чем кривая плотности нормального распределения с той же дисперсией. Если , то вершина плотности распределения более плоская, чем у нормального распределения.