.
Тогда
5) Если – скаляр, то .
6) Непосредственно из определения операции скалярного умножения векторов следуют формулы
; ,
7) Для базисных векторов справедливы равенства:
; ; ; .
8) Найдём теперь выражение для скалярного произведения в координатной форме.
Пусть , . Скалярное произведение
Таким образом,
.
Условие ортогональности векторов в координатной форме:
.
Замечание.
Выясним механический смысл скалярного произведения.
Пусть под действием постоянной силы точка перемещается по прямой из положения в положение . Сила образует с прямой угол . Работа силы на этом перемещении равна
.
Если ввести вектор перемещения , то выражение для работы можно переписать в виде
.
Следовательно, работа силы равна скалярному произведению вектора силы на вектор перемещения.
Векторное произведение векторов
Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который определяется следующим образом:
а) ,
т.е. численно равен площади параллелограмма, построенного на перемножаемых векторах как на сторонах;
|
|
б) и , т.е. он перпендикулярен плоскости, в которой лежат перемножаемые векторы;
в) , , образуют правую тройку векторов, то есть, если из конца вектора () кратчайший поворот от вектора () к вектору () виден происходящим против хода часовой стрелки.
Векторное произведение векторов и обозначается или .
Рис. 6.