, а - взаимно простые нечетные целые числа.
Таким образом, одно и то же квадратное уравнение - 2К + С В = 0, дает одинаковые решения X1,2 = К (X1( 2) =- Х2(1) = - 1) идля Случая 8 и для Случая 15, значит и одинаковые их окончательные решения:
, а - взаимно простые нечетные целые числа.
В этом мы непосредственно и убедились.
Следовательно, «Общие свойства для с и b» ( сb= -СВ, с – b= -С -В, с – b= 2К) действительно определяют Случаи 15 и 8, имеющие одинаковые знаки у с и b и отличающиеся друг от друга у них выражениями (С и В), а, значит, и одинаковый вид их окончательных решений. Этой похожестью с и b, их отличием друг от друга и вышерассмотренными «Общими свойствами для с и b» мы воспользуемся при рассмотрении последующих случаев.
*********
Вывод (критерий одинаковости окончательных решений).
Если в каких-либо двух случаях наблюдаются вышерассмотренные «Общие свойства для с и b» ( с b = const´ , с – b = const´´, с – b = const´´´), то в этих случаях окончательные решения имеют одинаковый вид.
*********
«Новый» случай 16
( Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b = В, n = -N, -K)
Случай 16. Случай 7.
с = В с = С
b = -С b = -В
n = -N n = -N
-K -K
Окончательные решения в случае 7:
(40), (38´´´),
(41´), (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= - СВ = const´, с – b= С+В = const´´, с – b= - 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40), (38´´´),
(41´), (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.
********
«Новый» случай 17
( Отличающийся «новым свойством » от случая 3: с = С, b = -В, n = N, -K)
Случай 17. Случай 6.
с = - В ( 16-B ), с = - С ( 16´ ) ,
b = С ( 17+C), b = В ( 17),
n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),
-K ( 19´ ), -K ( 19´ ).
Окончательные решения в случае 6:
(40´), (38),
(41´), (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= - СВ = const´, с – b= -С –В = const´´, с – b= - 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(40´), (38),
(41´), (33´),
где - взаимно простые целые нечетные числа.
*********
«Новый» случай 18
( Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b = В, n =- N, K)
Случай 18. Случай 5.
с = В ( 16+B ), с = С ( 16 ) ,
b =- С ( 17-C), b = -В ( 17´),
n =- N ( 18´ ), n = -N ( 18´ ),
K ( 19 ), K ( 19 ).
Окончательные решения в случае 5:
(40), (38´),
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= - СВ = const´, с – b= С +В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(41), ,
где - взаимно простые нечетные целые (40), (38´), числа.
********
«Новый» случай 19
( Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b =- В, n =- N, K)
Случай 19. Случай 4.
с = - В ( 16-B ), с = - С ( 16´ ) ,
b = С ( 17+C), b = В ( 17),
n =- N ( 18´ ), n = -N ( 18´ ),
K ( 19 ), K ( 19 )
Окончательные решения в случае 4:
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= - СВ = const´, с – b= - С - В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´´), (38´´´),
(37´), (33),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
********
«Новый» случай 20
( Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b = В, n = N, -K)
Случай 20. Случай 3.
с = В ( 16+B ), с = С ( 16 ) ,
b = -С ( 17-C), b = -В ( 17´),
n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),
-K ( 19´ ), -K ( 19´ ).
Окончательные решения в случае 3:
(39´´), (38´´),
, (33´),
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= - 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
(39´´), (38´´), где - взаимно простые нечетные
, (33´), целые числа.
********
«Новый» случай 21
( Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b = -В, n = -N, -K)
Случай 21. Случай 2.
с = -В ( 16-B ), с = - С ( 16´ ) ,
b = С ( 17+C), b = В ( 17),
n =- N ( 18´ ), n = -N ( 18´ ),
-K ( 19´ ), -K ( 19´ ).
Окончательные решения в случае 2:
,
,
где - взаимно простые нечетные целые числа
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= - СВ = const´, с – b= - С - В = const´´, с – b= - 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
*********
«Новый» случай 22
( Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = - С, b = В, n = N, K)
Случай 22. Случай 1.
с = В ( 16+B ), с = С ( 16 ) ,
b = -С ( 17-C), b =- В ( 17´),
n = N ( 18 ), n = N ( 18 ),
K ( 19 ), K ( 19 )
Окончательные решения в случае 1:
, ,
,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= - СВ = const´, с – b= С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.
, ,
, ,
где - взаимно простые нечетные целые числа.
**********
Вывод
Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.
*********
«Новый» случай 23
( Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b = В, n = -N, K)
Случай 23. Случай 12.
с = В ( 16+B ), с = - С ( 16´ ) ,
b = С ( 17+C), b = - В ( 17´),
n = - N ( 18´ ), n = - N ( 18´ ),
K ( 19 ), K ( 19 )
Окончательный вывод в случае 12: c и b – четные, чего не должно быть.
Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».
Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = const´, с – b= - С + В = const´´, с – b= 2К = const´´´) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
«Новый» случай 24
( Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = - С, b = -В, n = N, -K)
Случай 24. Случай 11.
с = -В ( 16-B ), с = С ( 16 ) ,
b =- С ( 17-C), b = В ( 17),