(12) - нечетное число при - нечетном;
(13) - нечетное число при - нечетном;
(14) - нечетное число при - нечетном;
(15) - четное число.
Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению)..
*******
Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.
= С
= В
= N
= К,
и рассмотрим с лучай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.
********
Условие1 (начало)
с 2 = С
b2 = B
= N
Случай «+».
(12+) - нечетное число при - нечетном;
(13+) - нечетное число при - нечетном;
(14+) - нечетное число при - нечетном;
(15+) - четное число.
Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.
Однако не все так просто.
Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .
|
|
Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):
,
т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),
!
Т.е ., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.
Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.
********
Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».
Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (СмотриСлучай «-» на стр.8.)
********
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Т.к. уравнение (11) симметрично для с 2 и b 2, (для уравнения (11) они равнозначны), то с 2 и b 2могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.
|
|
Условие 2 (начало)
с 2 = В
b2 = С
= N
«Новые» случаи «+» и «-».
(12´±) c2 =± В
(13´±) b 2 =± С
(14±) =±N
(15±) =±К.
И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !
Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при - четном.
Однако, если - четное, то (в ( (12´±) и ( (13´±) ) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.
Мы пришли к противоречию ( в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Примечание
Осталось рассмотреть еще 14 случаев,рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).
Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.
********
Уравнение (11 ) симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).
Условие 3.
с 2 = С
b2 = B
= К
«Похожие» случаи «+» и «-».
(12±) c2 = ± () = ± С
(13±) b 2 = ± () = ± В
(14´±) = = ± К
(15´±) = ± N
Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15´±) = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b – четные, чего не должно быть.
Мы пришли к противоречию ( в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
*******
В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоятвсевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1 ), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.
Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.
********
Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
*******
Вывод
1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.
2. 1-я часть «Утверждения 2» ( для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3 ) доказана.
*********
Часть вторая (Утверждения 2)
Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.
Доказательство
Казалось бы, мы должны рассмотреть еще моменты в Условиях 1 и 2, когда перед скобками в (12), …, (15) стоят разные знаки (как при доказательстве «Утверждения 1» в части 2). Интуиция подсказывает, что э та процедура опять нас приведет к известным значениям b и c: либо (из ), либо (из ), либо b и c - четные чего не должно быть, (подобно доказательству части 2 «Утверждения 1»).
Для подтверждения сказанного рассмотрим подробно только часть Условия 1.
Условие 1 ( продолжение ).
Случай 1.
(12)
(13′)
(14)
(15),
которые также являются решениями уравнения (11)
.
Тогда сумма имеет вид:
Учитывая (10) и (15), можно получить разность :
=> .
Выразим из (17) и (16) :
=>
=> .
По условию должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .
|
|
Т.о., имеют вид:
, , а их сумма .
Т.к. из (4) c2 + b2 = 2 β, то => .
Из (15) с учетом (20) выразим :
, т.е. .
Т.о., , , т.е.
,
выражения которых, с учетом (24), полностью совпадают с (6) и (7), т.е. с уравнениями
Теперь, с учетом (13′) и (14), найдем сумму :
т.к. , т.е. .
(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (20). В последующих действиях мы это учтем).
Теперь, учитывая (23), получим значение для b2:
, т.к. из (20) получается
(20′).
Итак, (28), что для целых чисел неприемлемо.