Пример выполнения задания

1. Задание для решения задачи одномерной оптимизации:

· функция, для которой необходимо найти минимум: ;

2. Исследование задания:

· График функции y(x), выбор начального отрезка неопределенности и проверка условий унимодальности функции на выбранном отрезке с помощью Mathcad:.

Из приведенных расчетов видно, что на отрезке [-2; 3] функция y(x) – унимодальная: ее вторая производная y2(x)=cos(x)+2 всегда >0 (т.к. cos(x) не может быть меньше, чем -1), а первая производная монотонно возрастает. Следовательно, этот отрезок может быть выбран в качестве начального отрезка неопределенности.

Ручной расчет» трех итераций методом дихотомии

Результаты вычислений сведены в таблицу:

Таблица 5.2

N	a	b	X1	X2	y(X1)	y(X2)
1	-2	3	0.498	0.502	-4.129	-4.127	5
2	-2	0.502	-0.751	-0.747	-2. 416	-2.429	2.502
3	-0.751	0.502	-0.127	-0.123	-3.85	-3.855	1.253
4	-0.127	0.502					0.629

Для метода дихотомии теоретическая длина отрезка неопределенности после трех итераций  почти совпала с вычисленной.

После 3-х итераций за минимум можно принять середину оставшегося отрезка, т.е. координатами точки минимума можно считать xmin 0.188, а y(xmin) -4.135. Это весьма грубое приближение, поскольку

Ручной расчет» трех итераций методом золотого сечения

1 итерация          Считаем                  Т.к. y1<y2, то точка b переходит в точку x2 2 итерация        Считаем  и             Т.к. y1> y2, то точка a переходит в точку x1 3 итерация           Считаем           Т.к.  y1> y2, то точка a переходит в точку x1 После 3-х итераций

Результаты вычислений сведены в таблицу:

                                                                                    Таблица 5.3

N	a	b	X1	X2	y(X1)	y(X2)
1	-2	3	-0.09	1.09	-3.898	-3.364	5
2	-2	1.09	-0.82	-0.09	-2.191	-3.898	3.09
3	-0.82	1.09	-0.09	0.361	-3.898	-4.166	1.91
4	-0.09	1.09	0.361		-4.166		1.18

Для метода золотого сечения теоретическая длина отрезка неопределенности после трех итераций равна , что совпадает с полученной длиной отрезка неопределенности.

После 3-х итераций за минимум можно принять середину оставшегося отрезка, т.е. координатами точки минимума можно считать xmin 0.5, а y(xmin) -4.128. Так как отрезок неопределенности изначально был взят большим (длиной 5), трех итераций мало для нахождения минимума методом золотого сечения.