Сложно-простые проценты

Существует ещё одна схема начисления процентов на вклад, иногда называемая сложно-простыми процентами. При этой схеме устанавливается годовая ставка процента r, но начисление процентов проводится несколько раз в год. Например, начисление может проводиться ежеквартально или ежемесячно.

Обозначим количество раз начисления процентов в течение года через натуральное число m. Тогда в конце первого периода начисления вклад увеличивается до величины V (1 + r/m).

Другими словами, при увеличении вклада в конце каждого периода используется формула простого процента.

Но в следующий период процент начисляется уже с учётом увеличения вклада, т. е. «работает» формула сложного процента.

Поэтому к концу года вклад станет равен величине V (1 + r/m) ^m.

К концу года t вклад будет составлять величину V_t = V (1 + r/m) ^mt.

Параметр m входит в эту формулу дважды. При его увеличении уменьшается выражение, заключённое в скобки, но увеличивается показатель степени, в которую выражение в скобках возводится. Можно доказать (см. упражнения), что при постоянных величинах r и t выражение V_t = V (1 + r/m) ^mt  монотонно растёт при увеличении m. При одном и том же годовом проценте чем чаще происходит начисление, тем больше величина вклада к концу года.

Рассмотрим не очень жизненный, но математически легко понимаемый пример. Пусть вкладчик кладёт в банк 1 р., но под 100 % годовых. Рассчитаем размер вклада через один год. В зависимости от переменной m размер вклада составит величину, представленную в таблице 1.

В первом столбце указано количество начислений в течение года. 

Первая строка соответствует ежегодному начислению процента, 12-я – ежемесячному начислению, 52-я – еженедельному.

Второй столбец показывает величину вклада в конце года, а третий – процент, при котором однократное начисление могло бы дать такую же величину вклада. Этот показатель принято называть эффективным процентом, а годовой процент r – номинальным процентом.

Мы видим, что при еженедельном начислении (m = 52) номинальному проценту 100 % соответствует эффективный процент более 169 %.

При ежедневном начислении (m = 365) эффективный процент достигает почти 171,5 %.

Дальнейшее увеличение числа m практически не меняет эффективный процент.

 

Таблица 1. – Величина вклада в конце года и эффективный процент

При разном количестве начислений процента в течение года

 

	Количество начислений в году (m)	Величина вклада в конце года	Эффективный процент
	1	2	100
	2	2,25	125
	3	2,37037037	137,037037
	4	2,44140625	144,140625
	5	2,48832	148,832
	6	2,521626372	152,1626372
	7	2,546499697	154,6499697
	8	2,565784514	156,5784514
	9	2,581174792	158,1174792
10		2,59374246	159,374246
11		2,604199012	160,4199012
12		2,61303529	161,303529
…		…	…
52		2,692596954	169,2596954
…		…	…
365		2,714567482	171,4567482
…		…	…
1000		2,716923932	171,6923932
…		…	…
1 000 000		2,718280469	171,8280469
10 000 000 000		2,718282053	171,8282053

 

Из таблицы видно, что при увеличении количества начислений величина вклада в конце года действительно монотонно растёт.

Но растёт вклад не безгранично, при больших значениях параметра m его дальнейшее увеличение почти не меняет величину вклада в конце года. На языке математики это означает, что существует предел выражения V_m = V (1 + 1/ m) ^m, который

соответствует бесконечно частому начислению процента.

 Конечно, на практике такое невозможно, бесконечно частое начисление процента существует только абстрактно. Такой контракт с банком называется мгновенно начисляемым сложным процентом. Используя математическое определение предела, можно утверждать, что существует lim _{n → ¥} (1 + 1/ n) ⁿ, и этот предел и есть величина вклада в 1 р. в конце года хранения при мгновенном начислении сложных процентов и годовом номинальном проценте 100 %. (5, с. 13 – 15)

 

4. Экономический смысл числа е

Величина рассмотренного выше предела обозначается знакомым вам иррациональным числом, являющимся основанием натуральных логарифмов, – числом e. Его примерная величина равна 2,7182.

Напомним, что это иррациональное число не может быть выражено ни в виде простой дроби, ни в виде бесконечной периодической десятичной дроби. Итак, lim _{n → ¥} (1 + 1/ n) ⁿ = e.

Мы получили следующее экономическое содержание числа e.

Основание натуральных логарифмов соответствует величине вклада в 1 р. после одного года хранения при мгновенном начислении сложных процентов и годовом номинальном проценте 100 %. В конце года t накопленный размер вклада составит lim _{n →¥} (1 + 1/ n) ^nt = (lim_{n →¥}(1 + 1/ n) ⁿ) ^t = e^t. (5, с. 16)

Источники

1. Абросимова Е. А. Финансовая грамотность: материалы для воспитанников детских домов и учащихся школ-интернатов / Е. А. Абросимова. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 192 с.

2. Абросимова Е. А. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 10–11 классы общеобразоват. орг., юридический профиль / Е. А. Абросимова. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 160 с.

3. Брехова Ю. В. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 10–11 классы общеобразоват. орг. / Ю. В. Брехова, А. П. Алмосов, Д. Ю. Завьялов. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 400 с.

4. Жданова А.О. Финансовая грамотность: материалы для обучающихся. СПО / А.О. Жданова. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 400 с.

5. Канторович, Г.Г. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 10–11 классы общеобразоват. орг. Математический профиль / Г.Г. Канторович. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 96 с.

6. Киреев А.П. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 10–11 классы общеобразоват. орг., экономический профиль / А. П. Киреев. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 368 с.

7. Липсиц И.В. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 8–9 классы общеобразоват. орг. / И.В. Липсиц, О.И. Рязанова. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 352 с.

8. Липсиц И.В. Финансовая грамотность: материалы для учащихся. 8–9 классы общеобразоват. орг. / И.В. Липсиц, О.И. Рязанова, Е.Б. Лавренова. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2017.

9. Савицкая Е.В. Финансовая грамотность: материалы для обучающихся по основным программам профессионального обучения / Е.В. Савицкая. – М.: ВИТА-ПРЕСС, 2015. – 224 с.

10. Гусева А.А. Рынок ценных бумаг. – 2006. Электронный источник: http://www.be5.biz/rynok_tcennykh_bumag/investicionnye_operacii.html

11. Энциклопедия Кольера. Инвестирование. – Открытое общество. 2000. Электронный источник: http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_colier/452

 

 

[1] О том, кто такие коллекторы и чем они занимаются, можно прочитать в параграфе 17.

[2] Дети и финансы // Исследования НАФИ, 2015 г.

[3] Стартап (от англ. startup — запуск) — недавно созданная компания.

[4] Цифры в таблице примерные, для более точной информации следует получить сведения в кредитной организации.