Решим следующую задачу. Обеспечить заданный объем добычи нефтегазового конденсата па каждом временном интервале с минимальными затратами па этом интервале.
Для этой задачи сформируем целевую функцию.
Для каждого месторождения п Î (l, 2,..., N) введем в рассмотрение вариант финансирования j пt Î (1 nt,, 2nt,,..., Jпt) на временном интервале t Î {l, 2,..., T}. Каждый вариант jnt определяет объем финансирования Xjnt и соответствующий объем добычи Vjпt на месторождении п за период времени t. Полагаем Jпt ≥ 1 при конечности общего числа вариантов финансирования.
Пусть hjnt = 1, если вариант) jпt принимается для финансирования месторождения п на временном интервале t, иначе hjnt = 0.
Тогда задача минимизации общих расходов на временном интервале t имеет вид
, (1)
где минимум ищется среди всех возможных вариантов финансирования по каждому проекту jnt Î(1nt, 2nt,…Jnt).
Решение задачи (1) - совокупность всех индексов hjnt, должно удовлетворять следующим ограничениям:
, (2)
где Vt - лимит общей добычи нефти по всем месторождениям в каждом интервале времени t;
(3)
(т.е. для каждого месторождения в плановом периоде используется только один вариант инвестирования).
Метод решения
1) Для решения задачи (1-3) условно будем считать, что на временном интервале t объем финансирования St изменяется от
(ьшт обт Чоте ) до ()
с достаточно малым приращением D
2) На первом шаге алгоритма запишем все имеющиеся варианты инвестирования и добычи для каждого месторождения в виде дискретной функции
4) Далее для всех Х из диапазона
5) проводим рекуррентные вычисления похожие на вычисления функции Беллмана, но с учетом ограничения (3)
В(Х) = max(F(x)+B(X - х)), (4)
где ч = 0,…,X.
Можно показать, что выражение (4) дает абсолютный оптимум добычи на ресурсе Х, если при его вычислении выполнено условие (3), Т.е. инвестирование в месторождение либо производится только по одному из допустимых вариантов, либо вообще не производится.
Действительно, предположим, что существует В'(Х)>В(Х), где В(Х) найдено по (4). По условиям вычислений В(Х- х) является абсолютным максимумом. Исходя из нашего предположения, это означает, что существует F'(x), такое, что
F'(x) + В(Х- х) = В '(Х) > В(Х) = max(F(x) + В(Х - х)),
т. е. F'(х) > maxF(x), что невозможно.
Для выполнения условия (3) и сохранения глобального оптимума при каждом вычислении по (4) производится проверка участия месторождения, соответствующего добыче F(x) в суммарной добыче определяемой В(Х - х). Если месторождение уже участвует при получении результата В(Х - х), то проверяется, увеличивает ли замена варианта инвестирования в это месторождение значение функционала В(Х) или нет. Если да, то производим замену варианта. Если нет, то переходим к другому месторождению, для которого возможны инвестиции в размере Х.
Для каждого значения инвестиций Х запоминается набор месторождений и соответствующих вариантов инвестирования, дающих оптимальное значение.
Если для каждого месторождения определен только один вариант инвестиций, то процедура автоматически упрощается, так как проверяется только «повторное» инвестирование в месторождение.
Таким образом, если компания планирует добыть определенный объем нефти, который реален по геологическим условиям, а в проектах инвестиций месторождений есть вариант, предусматривающий максимальную добычу нефти, то плановый объем добычи будет среди получаемых по (4) вариантов или близок к некоторым из них. Более того, имея картину оптимальных объемов добычи нефти при разных вариантах финансирования, руководство может просто выбирать подходящий объем и тут же иметь перед глазами соответствующую оптимальную инвестиционную программу с учетом всех месторождений для взятого временного интервала t.