Синхронизация N связанных осцилляторов

Рассмотрим синхронизацию N связанных осцилляторов на примере электронных генераторов, связанных через емкость, индуктивность и сопротивление. Уравнения колебаний в такой системе имеют вид:

(i=1,2,...,N). (5)

Здесь x_i – напряжения на входах усилителей, ω_i – собственные частоты колебательных контуров, μ_i – превышения над порогом генерации, β_ij⁽¹⁾ – коэффициенты индуктивной связи, β_i _j⁽²⁾ – коэффициенты емкостной связи, β_ij⁽³⁾ – коэффициенты связи через сопротивление, (1 – γ_ix_i²) – функции, характеризующие нелинейные свойства усилителей.

Будем считать, что частоты автономных генераторов близки друг к другу, тогда решение уравнения (5) можно искать в виде:

x_i=А_icos(ωt+φ_i), = – А_iωsin(ωt+φ_i), (6)

где ω=(1/N) .

Для амплитуд и фаз получаем следующие уравнения:

(7)

(8)

где A_i₀ – амплитуда колебаний i-го генератора в отсутствии связи, Φ_ij=φ_i – φ_j, (9)

Δ_i=ω_i – ω, (10)

m_ij= [(β_ij⁽¹⁾ω² – β_ij⁽³⁾)²+ β_ij⁽²⁾²]^1/2, (11)

(12)

Рассмотрим случай слабой связи между генераторами, когда в уравнениях для фаз (8) можно положить A_i=A_i₀. В синхронном режиме, когда , получим следующую систему уравнений для определения стационарных разностей фаз:

(13)

где i=1,2,...,N – 1, Δ_i,i+1=ω_i – ω_i+1=Δ_i – Δ_i+1.

Система уравнений (13) аналитически может быть решена лишь для частного случая полностью идентичных генераторов, когда A_i₀=A₀, m_ij=m, χ_ij=χ, ω_i=ω для всех i и j. В этом случае уравнения (13) примут вид:

(i=1,...,N – 1). (15)