§1. Скорость
Слово «скорость» мы часто используем в своей речи и на обыденном уровне представляем себе, что оно означает величину, характеризующую либо быстроту движения, либо быстроту какого-либо процесса.
Однако, для того, чтобы ввести в механику точный физический термин
«скорость», потребовалось создать новую область математики – научиться опе- рировать с бесконечно малыми величинами. Известны многочисленные пара- доксы, связанные с проблемой скорости движения. Вот один из них, принадле- жащий древнегреческому философу Зенону Элейскому, жившему примерно 2 500 лет тому назад. В этом парадоксе утверждается, что быстроногий Ахил- лес никогда не сможет догнать медлительную черепаху. Вот как излагает рас- суждения Зенона известный американский физик Ричард Фейнман в первом томе своих лекций по физике. Предположим, что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи. Пусть в начале состязания черепаха находилась в 100 метрах впереди Ахиллеса. Тогда ко времени, когда Ахиллес пробежит эти 100 метров, черепаха окажется в 10 метрах впереди него. Пробежав и эти 10 метров, Ахил- лес увидит черепаху в 1 метре впереди себя. За то время, пока он пробежит этот метр, черепаха пройдет 10 сантиметров и так далее… до бесконечности. Следо- вательно, в любой момент времени черепаха будет впереди Ахиллеса, и он ни- когда не сможет перегнать ее! В чем ошибочность этих рассуждений? Конеч- ный интервал времени можно разделить на бесконечное число частей. Но бес- конечное число этапов до того места, где Ахиллес поравняется с черепахой, вовсе не означает бесконечное количество времени. Для того, чтобы научиться правильно оперировать с бесконечно малыми величинами, человечеству пона- добилось примерно 2 000 лет. Честь создания дифференциального и интеграль- ного исчисления принадлежит И. Ньютону (наряду с Г. Лейбницем). В своем грандиозном труде «Математические начала натуральной философии» (1687 г.) Ньютон сформулировал исходные понятия и основные законы классической механики.
Сейчас мы дадим точное и строгое определение физического термина
«скорость». Исходя из этого определения, выясним свойства скорости.
Скорость – это производная радиус-вектора по времени.
либо, применяя другое обозначение производной по времени,
. (2.1)
Как видно из этого определения, скорость – величина векторная, т.е. когда употребляют термин «скорость», имеют в виду вектор, который имеет две ха- рактеристики: направление и модуль.
Скорость направлена по касательной к траектории. Это можно устано- вить, проанализировав определение скорости (2.1).
Так как
|
то направление вектора v совпадает с предельным направлением вектора.
На рис. 2.1а, 2.1б, 2.1в показаны этапы предельного перехода для плоского движения, когда материальная точка движется по произвольной траектории.
На рис. 2.1а изображены радиус-векторы материальной точки для момен-
тов времени t1 и t2, а также вектор перемещения r
r2 r1
этой материальной
точки за промежуток времени
t t2
t1.
Отношение перемещения к
промежутку времени промежуток времени
дает среднюю скорость <v> материальной точки за
v (2.1б)
Направление средней скорости, как следует из ее определения (2.1б), сов-
падает с направлением вектора перемещения.
При уменьшении промежутка времени t радиус-вектор
r2 приближается к
r1. При этом вектор перемещения
меняет свое направление, он поворачи-
вается против часовой стрелки. Модуль вектора уменьшается. Это проме-
жуточное положение при совершении предельного перехода ( t 0) зафикси- ровано на рис. 2.1б.
При дальнейшем уменьшении
и приближении
r2 к
r1 направление век-
тора приближается к направлению касательной к траектории. Как известно
из геометрии, касательная есть предельное положение секущей.
Значит, когда предельный переход будет завершен, бесконечно малый вектор
перемещения будет направлен по касательной к траектории.
Следовательно, и вектор скорости будет направлен по касательной к траектории. Это изображено на рис. 2.1в.
y
Рис. 2.1а
y
Рис. 2.1б
y
Рис. 2.1в
Компоненты скорости
На рис. 2.2 изображен вектор скорости v материальной точки, движущей- ся по плоскости x, y. Вектор v можно разложить на два составляющих его век-
тора
ex vx
и eyvy .
Рис. 2.2
Компоненты скорости, т.е. проекции вектора v на координатные оси обо-
значены vx, vy. Так как на рис. 2.2 вектор
ex vx
направлен по оси х, то компо-
нента скорости vx > 0. Вектор
ey v y
у нас направлен против оси, значит, соот-
ветствующая компонента скорости vy < 0.
Из определения (2.1) и формулы (1.1) следует, что для трехмерного про- странства скорость в декартовых координатах выражается следующим обра- зом:
С другой стороны:
v r ex x
ey y
ez z
(2.1а)
откуда
v ex vx
ey vy
ez vz , (2.1б)
vx , vy
и vz
, (2.2)
т.е. компоненты скорости в декартовых координатах равны производным со- ответствующих координат по времени.
Модуль скорости – это производная пути по времени. В самом деле, при (см. рис. 1.8, 2.1а, 2.1б). Используя это, получим для модуля
скорости из определения (2.1а):
v (2.3)
Выразим модуль скорости через ее компоненты. По теореме Пифагора (см. рис. 2.2):
В трехмерном пространстве v
ex vx
.
ey vy
ez vz
и модуль скорости:
(2.4)
§2. Вычисление пройденного пути
Для равномерного движения, т.е. для движения с постоянной по модулю
скоростью: v
v const, путь равен:
s12
vt , (2.5)
где s12 – весь путь (рис. 2.3);
t – весь отрезок времени;
v – const.
Рис. 2.3
Формула (2.5), известная по школьному курсу физики, следует из формулы (2.3). Запишем формулу (2.3) в следующем виде:
тогда
v ds,
dt
ds vdt, (2.3а)
здесь ds – бесконечно малый отрезок пути, пройденный за бесконечно малое время dt.
Складывая все ds, получим s12, сумма всех dt даст время движения t. Опе-
рация сложения бесконечно малых величин носит в математике название ин- тегрирования. Интегрируя (2.3а), получим:
2 t
vdt
1 0
t
v dt.
0
В правой части мы вынесли за знак интеграла скорость v, так как она в на- шем случае постоянна. Интеграл от ds есть s12, а интеграл от dt – время движе- ния t, следовательно, мы получим формулу, совпадающую с (2.5):
s12
vt.
Для произвольного движения (рис. 2.4), т.е. для движения с переменной скоростью разобьем весь путь на очень маленькие участки
s12 s1
sn v1 t1
v1
v2 t2
...
vi ti
...
vn tn.
Значения модуля скорости vi
Рис. 2.4
в течение отрезка времени
приблизи-
тельно постоянны, если В пределе:
достаточно малы.
s12
n
|
|
t 0 i 1
t2
v(t)dt, (2.6)
t1
т.е. путь – это определенный интеграл от модуля скорости по времени.
Так как модуль скорости – величина положительная, то путь всегда поло- жителен и может только возрастать с течением времени.
§3. Ускорение
В общем случае скорость материальной точки может изменяться как по величине (т.е. по модулю), так и по направлению. Быстроту этого изменения характеризует векторная величина, которую называют термином «ускорение».
Ускорение – это производная скорости по времени.
Учитывая, что v
или .
|
(2.7)
|
d2
. (2.8)
a
dt dt
dt2
Ускорение – вторая производная радиус-вектора по времени. Производ- ную по времени от какой-либо величины называют скоростью изменения этой величины. Ускорение – это скорость изменения скорости.
Вектор ускорения a, так же, как и векторы r
составляющие:
и v, можно разложить на
a exax
eya y
ezaz,
где ах, аy, аz – компоненты ускорения.
Из определения (2.7) и формулы (2.1б) следует, что:
ax x
, ay y , a
, (2.9)
т.е. компоненты ускорения равны производным по времени от соответствую- щих компонент скорости.
Используя формулы (2.8) и (1.1), получим, что:
ax , ay
, az
, (2.9а)
т.е. компоненты ускорения равны вторым производным по времени от соот- ветствующих координат материальной точки.
§4. Нахождение зависимости скорости от времени
Запишем первую из формул (2.7) в следующем виде:
dv a ( t ) dt. (2.7а)
Формула (2.7а) позволяет найти приращение скорости dv
за бесконечно
малый промежуток времени dt. Если известна начальная скорость
|
0 ), то, используя (2.7а), можно найти скорость спустя бесконечно
малый интервал dt:
v t dt
v0 a(t)dt.
(2.10)
Если нам известна зависимость ускорения от времени, т.е. функция
A(t),
то начатый формулой (2.10) процесс вычисления зависимости
v ( t ) - скорости
от времени – можно бесконечно продолжать. В математике эта операция назы- вается интегрированием. Возьмем определенный интеграл в пределах от нуля до t от обеих частей равенства (2.7а):
v(t)
dv
vo
t
a(t)dt.
0
(2.11)
Как известно из математики, интеграл от дифференциала dv
равен разно-
сти значений функции v на верхнем и нижнем пределах. Тогда из (2.11) полу- чим:
откуда для
V(t)
имеем:
v(t) v0
t
a(t)dt,
0
v(t) v0
t
a(t)dt.
0
(2.12)
Для нахождения зависимости
v ( t ) по формуле (2.12) необходимо в каждом
конкретном случае взять интеграл от ускорения по времени.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 2
1. Скорость – производная радиус-вектора по времени (2.1):
v
dt
Направлена скорость по касательной к траектории.
2. Компоненты скорости равны производным соответствующих коорди- нат по времени (2.2):
vx , vy , vz .
3. Модуль скорости – производная пути s по времени (2.3):
.
dt
4. Модуль скорости связан с ее компонентами следующим образом (2.4):
5. При равномерном движении, т.е. при v
Const,
пройденный путь
s12
связан с временем движения t простой формулой (2.5):
6. Для произвольного движения путь равен определенному интегралу от модуля скорости по времени (2.6)
n t2
s12 = lim viΔti = v(t)dt.
|
7. Ускорение – это производная скорости по времени (2.7):
a
dt
8. Ускорение – это вторая производная радиус-вектора по времени (2.8):
a .
dt
9. Компоненты ускорения ах, аy, аz равны производным по времени от со- ответствующих компонент скорости (2.9):
ax x , ay y , a
и вторым производным по времени от соответствующих координат (2.9а):
ax , ay , az .
10. Зависимость скорости материальной точки от времени может быть найдена (2.11), если известно ускорение как функция времени:
v ( t ) v0
t
a ( t ) dt.
0
ЛЕКЦИЯ № 3