§1. Нормальное и тангенциальное ускорение
Пусть материальная точка движется по произвольной криволинейной тра- ектории (рис. 3.1) с переменной по модулю скоростью.
В этом случае за счет криволинейности траектории скорость будет изме- няться по направлению, кроме того, у скорости изменяется ее модуль. Для ха- рактеристики такого движения полное ускорение удобно представить в виде суммы двух составляющих: нормального ускорения, направленного перпенди- кулярно скорости, и тангенциального ускорения, направленного вдоль вектора скорости.
Введем единичный вектор e v, направленный вдоль вектора скорости:
Рис. 3.1
Тогда для ускорения из определения (2.7) и рис. 3.1 следует:
a v ev v
ev v
(3.1)
(по правилу нахождения производной от произведения).
Первый член, нормальное ускорение,
показывает быстроту изменения направления скорости.
Второй член, тангенциальное ускорение,
направлен вдоль скорости и показывает быстроту изменения ее модуля.
|
|
(3.2)
(3.3)
Модуль тангенциального ускорения равен, как следует из (3.3):
a . (3.3а)
Направление и величину нормального ускорения найдем для частного слу- чая равномерного движения материальной точки по окружности (рис. 3.2а, 3.2б, 3.2в):
ev (t1)
n
R s
v(t1)
ev (t2)
ev (t1)
ev
s Рис. 3.2б
R
ev (t2)
e v (t1)
v(t2)
ev (t2)
ev ev
Рис. 3.2а Рис. 3.2в
Пусть точка за время t
t2 t1
переместилась из начального положения
в конечное. При этом радиус R повернется на угол. По определению ради- анной меры угла измеряется отношением длины дуги к радиусу:
s.
R
При равномерном движении по окружности скорость меняется по направ- лению, но не меняется по величине. Следовательно, тангенциальное ускорение равно нулю. Чтобы найти нормальное ускорение, воспользуемся формулой (3.2), которую запишем, применив определение производной, в следующем ви- де:
v
a n dt
v. (3.2а)
На рис. 3.2б вектор рости за промежуток времени
показывает изменение направления вектора ско-
Рисунки 3.2б и 3.2в показывают, как изменяется направление вектора
при совершении предельного перехода (t 0).
Направлен ev, при
по вектору n, перпендикулярному вектору
v: (
значит угол между
ev и
стремится к). Модуль вектора
, как следует из рис. 3.2в, равен в пределе
Следовательно, при t 0 для вектора выражение:
|
|
, можно записать следующее
n
здесь n - единичный вектор нормали к скорости, n
Теперь подставим полученное выражение для этом запишем как отношение S/R:
в формулу 3.2а, при
2
ev
a n v
n lim v
v
|
t t 0 t R
t 0
Нормальное ускорение направлено по нормали к скорости, его модуль равен:
. (3.4а)
Для движения по произвольной кривой радиус кривизны траектории R не будет величиной постоянной. На рис. 3.3 изображены векторы скорости, нормального, тангенциального и полного ускорения для этого случая. Вектор
a n направлен, как и вектор n, к локальному центру кривизны траектории.
Тангенциальное ускорение направлено так же, как скорость, и по модулю, как
следует из (3.3), равно производной от модуля скорости по времени: a v.
Модуль полного ускорения вычисляется по теореме Пифагора:
a= .
v(t)
a
ev
n v2
a(t) an a n R
|
|
|
n
ev v
Рис. 3.3
§2. Прямолинейное равнопеременное движение
При прямолинейном движении траектория – прямая линия. Выберем сис- тему координат так, чтобы траектория материальной точки совпадала с осью х. Тогда положение тела в пространстве можно задать одной координатой – x(t). Зависимость x(t) можно получить, проинтегрировав первую из формул (2.2), записанную в виде:
dx vxdt.
Возьмем определенный интеграл от нуля до t от обеих частей этого равен- ства:
x(t) t
xo 0
Интеграл в левой части равенства берется так же, как и при интегрирова- нии формулы (2.11). В результате интегрирования получим:
x(t) x0
t
vx dt.
0
(3.5)
Для того, чтобы взять интеграл в правой части равенства (3.5), нам необ-
ходимо знать зависимость
vx ( t ). Ее мы найдем, применив к нашему случаю
определение ускорения (2.7). Так как наше движение одномерное, то из (2.7) и (2.9) следует, что
или
x
dvx
axdt.
Проинтегрируем последнее равенство:
v(t)
vo
t
a x dt
0
t
a x dt.
0
Так как ax
const
(движение равнопеременное), то ускорение ах можно
вынести за знак интеграла. Оставшиеся интегралы мы уже научились брать (см. (2.10) и (3.5)), после интегрирования имеем:
откуда для
vx ( t )
vx (t)
следует:
vx0
ax (t 0)
ax t,
vx (t)
vx0
ax t.
(3.6)
Теперь из (3.5) и (3.6) для x(t) получим:
X(t)
t
x0 (vx 0
0
t
x t)dt x0
t
t
vx 0dt
0
t
t
a x tdt
0
x0 vx 0 dt
0
x tdt
0
x0 vx 0 t
0
Оставшийся интеграл табличный, он равен:
t
Tdt .
0 2
С учетом этого, окончательная формула для зависимости координаты тела х от времени t для равнопеременного движения приобретает следующий вид:
x(t) x0
v0 t
. (3.7)
ния.
Здесь мы, как это обычно делают, опустили индексы y скорости и ускоре-
Если за время движения знак скорости v(t) в формуле (3.6) не меняется
(т.е. не меняется направление движения), то из (3.7) можно найти пройденный путь. Действительно, при движении в одном направлении путь:
s x(t)
x0,
выражая
x ( t )
x0 из (3.7) для пройденного пути s, при выполнении отмечен-
ного выше условия, получим:
S(t)
v0 t .
(3.8)
Если направление движения меняется, для нахождения пройденного пути все время движения и весь путь нужно разбить на промежутки, в течение кото- рых знак скорости постоянен. Затем по формуле (3.8) найти отрезки пройден- ного пути, после чего их сложить.
|
|
§3. Как решается основная задача механики материальной точки для произвольного движения
Рассмотрим сначала прямолинейное движение с переменным ускорением. Положение тела по-прежнему задается одной координатой – x(t). Но ускорение,
в отличие от предыдущего случая, не постоянно: ax ax ( t ). Если функция
ax ( t )
нам известна, то как и в предыдущем параграфе, из (2.7) получим:
Однако теперь ускорение
dvx
ax ( t )
ax (t)dt.
мы не можем выносить за знак интеграла.
Интегрируя
dvx, получим:
t
vx (t) = v0 +
0
(3.9)
Затем
vx (t)
из (3.9) следует подставить в (3.5), и задача нахождения x(t), в
принципе, решена.
Решение основной задачи механики для произвольного движения матери- альной точки в трехмерном пространстве сводится к нахождению только что описанным способом трех зависимостей: x(t), y(t), z(t). Как видно из прово- дившихся рассуждений, для решения этой задачи необходимо знать три компо- ненты ускорения (a x (t), a y (t), a z (t)), три значения начальных скоростей
(v0x, v0 y, v0z) и начальных координат материальной точки:
x0, y0, z0.
Использование векторных обозначений позволяет все это сформулировать
короче: для нахождения зависимости
условия ( v0 и r0 ).
r ( t )
необходимо знать
a ( t )
и начальные
Таким образом, состояние материальной точки в любой момент времени t
полностью определяют две векторные величины: вектор скорости
v ( t )
и ра-
диус-вектор
r ( t ). Вектор ускорения
a ( t )
определяет зависимость состояния
материальной точки от времени.
Вопрос нахождения зависимости ускорения от времени –
a ( t )
– лежит за
пределами кинематики. Этим занимается следующий раздел механики – дина- мика.
Здесь отметим, что при решении основной задачи механики для системы взаимодействующих частиц ускорение обычно зависит от взаимных расстоя- ний между частицами, которые, в свою очередь, зависят от времени. Но в этом случае ясно, что явную зависимость ускорения от времени нельзя получить, по- ка не решена основная задача механики. В таких случаях на основе основного закона динамики материальной точки – второго закона Ньютона – можно полу- чить систему дифференциальных уравнений, в которых неизвестными величина- ми являются зависимости координат материальных точек системы от времени.
|
|
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 3
1. При произвольном криволинейном движении ускорение удобно разло- жить на две составляющие: нормальное и тангенциальное ускорение (рис. 3.3)
a an .
2. Нормальное ускорение a n
определяет быстроту изменения направления
скорости и направлено перпендикулярно скорости (см. (3.2), (3.4), рис. 3.3). Его модуль:
an ,
здесь R – локальный радиус кривизны траектории.
3. Тангенциальное ускорение a показывает быстроту изменения модуля скорости и направлено вдоль скорости (см. (3.3), рис. 3.3). Его модуль равен производной от модуля скорости по времени (3.3):
a = dv.
τ dt
4. Модуль полного ускорения может быть найден по формуле:
a= .
5. Для прямолинейного равнопеременного движения зависимости скорости v и координаты х от времени t даются следующими формулами ((2.10), (2.11)):
v(t) v0
x(t) x 0
at,
v0 t .
6. Путь s при движении с постоянным ускорением в одном направлении находится по следующей формуле:
s(t)
v0 t .
7. Для решения основной задачи механики при произвольном движении
материальной точки в трехмерном пространстве – нахождения
r ( t )
- необхо-
димо знать
a ( t )
и начальные условия:
v0 и r0
(§ 3).
8. Состояние материальной точки в любой момент времени определяется
ее радиус-вектором
r ( t )
и вектором ее скорости
v(t).
ЛЕКЦИЯ № 4