Линии тока – это линии, касательные к ко-
v v торым совпадают по направлению с вектором скорости частиц (рис. 10.1).
Линии тока не прерываются и не пересека- ются, их густота пропорциональна скорости те- чения жидкости.
Рис 10.1
Трубка тока – это часть потока жидкости, ограниченная линиями тока (рис. 10.2).
S1
S2
V1 V2
Рис. 10.2
При стационарном течении жидкости трубка тока со временем не изменя- ется по форме, и частицы жидкости не проникают через боковую поверхность трубок. Если жидкость идеальна, то в каждой трубке тока скорость постоянна. Если жидкость несжимаема, то через два различных сечения трубки тока прой-
дет одинаковый объем жидкости: V1 V2 .
Объем жидкости, протекающий за время
через сечение S1 (рис. 10.2),
равен V1
S1v1
t, где v1 – скорость течения жидкости в месте сечения S1.
Объем жидкости, протекающий за время
|
|
через сечение S2 (рис. 10.2),
равен V2
S2 v 2
t, где v2 – скорость течения жидкости в месте сечения S2.
Тогда:
S1v1 t
S2v2 t.
Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности имеет вид:
S1v1
S2v2
const
. (10.1)
Откуда следует, что
v1: v2
S1: S2, т.е. скорость течения жидкости в трубе
переменного сечения обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубы.
§ 3. Уравнение Бернулли
Уравнение Бернулли устанавливает зависимость между скоростью стацио- нарного течения идеальной несжимаемой жидкости и ее давлением.
Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади, называется давлением р жидкости.
Fn
p , (10.1а)
S где
F
– нормальная сила;
– площадь пластины, помещенной в
n
жидкость.
– Единица давления – паскаль.
Рис 10.3
1 Па
1 Н
1 м2
Выделим в стационарно текущей идеальной несжимаемой жидкости труб- ку тока. Рассмотрим стационарное течение жидкости, ограниченной трубкой
тока и перпендикулярными к линиям тока сечениями S1
l 1
и S2
(рис. 10.4).
Рис 10.4
В сечении S1
В сечении S2
– давление
– давление
p1, высота
p2, высота
h1, скорость течения
h 2, скорость течения
v1 .
v2 .
За малый промежуток времени жидкость перемещается от сечений S1 и
|
|
|
|
ной механической энергии незамкнутой системы равно работе внешних сил:
|
|
W2 W1 Aвнеш, (10.2)
здесь W1 – полная механическая энергия всей рассматриваемой нами жидкости,
заключенной в выделенной трубке тока между сечениями S1 и S2;
W2 – полная механическая энергия той же жидкости, но уже через проме-
|
|
|
|
|
рассматриваемой нами жидкости, что заключена между сечениями
' S2, за
промежуток времени t не изменится. Поэтому приращение полной механиче- ской энергии всей рассматриваемой нами жидкости будет равно разности пол-
ных механических энергий объемов жидкости
ΔV1
S1 l
и ΔV2
S2 l 2
(см. рис. 10.4). Так как жидкость несжимаема, то
ΔV1
ΔV2
ΔV. Масса жид-
кости, заключенная в каждом из этих объемов, также одинакова и равна
Δm ρΔV , где – плотность жидкости.
Найдем работу Авнеш, совершаемую силами давления, приложенными к се-
чениям S1 и S2:
A внеш
F1 l 1
F2 l 2
p 1S1 l 1
p 2 S2 l 2
p1ΔV1
p2 ΔV2
p1 p2
ΔV . (10.3)
При выводе формулы (10.3) мы учли, что работа силы F2 отрицательна, так как она направлена в сторону, противоположную течению жидкости, затем вы- разили силы F1 и F2 через давления р1 и р2 (в соответствии с определением дав-
ления 10.1а) и, наконец, учли, что
ΔV1
ΔV2
ΔV.
Теперь найдем полные механические энергии W1 и W2. Для W1 имеем:
Δmv 2
W1 1
2
Δmgh 1. (10.4)
Для W2 запишем аналогичное выражение:
Δmv 2
W2 2
2
Δmgh 2. (10.5)
Подставляя (10.4), (10.5) и (10.3) в (10.2), получим:
Δmv 2
( 2
2
Δmgh 2)
Δmv 2
( 1
2
Δmgh 1)
(p1
p2)Δ V.
(10.6)
Поделив выражение (10.6) на V и учитывая, что жидкости, получим:
Δm/ΔV
ρ – плотность
|
2 ρgh
2 2
2
|
2 1
Перенесем члены с одинаковыми индексами в одну часть равенства, полу- чим уравнение:
|
1 ρgh
2 2
2
|
1 2
ρgh 2
p2.
Так как сечения выбирались произвольно, то можем записать
v 2
gh p
2
const . (10.7)
Выражение (10.7) выведено швейцарским физиком и математиком Д. Бер- нулли (работал в Петербургской академии наук) и называется уравнением Бернулли.
Уравнение Бернулли представляет собой выражение закона сохранения энергии применительно к стационарному течению идеальной несжимаемой жидкости.
В этом уравнении: gh – гидростатическое давление, 2
давление, р – статическое давление.
– динамическое
Так как динамическое давление связано со скоростью движения жидкости, то уравнение Бернулли позволяет определить скорость потока жидкости.
Уменьшение статического давления в точках, где скорость потока больше, положено в основу работы водоструйного насоса.
Уравнение Бернулли используется, например, для нахождения скорости истечения жидкости через отверстие в стенке или дне сосуда.
Уравнение Бернулли хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.
§ 4. Вязкость жидкости
Вязкость (внутреннее трение) – это свойство реальной жидкости оказывать сопротивление движению одной части жидкости относительно другой. При пе- ремещении слоев жидкости, движущихся с разными скоростями, возникают си- лы внутреннего трения, направленные вдоль соприкасающихся слоев. Причи- ной внутреннего трения является перенос частицами жидкости импульса. В ре-
зультате, более медленно движущийся слой жидкости ускоряется, а более бы- стрый слой замедляется.
|
|
Сила внутреннего трения будет тем больше, чем больше площадь поверх- ности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения
жидкости при переходе от слоя к слою. На рис. 10.5 условно изображены
соприкасающиеся слои жидкости,
Fтр
v2 v1
движущиеся с неодинаковыми скоро-
стями
v2 и v1
. Величина
называ-
1
Рис. 10.5
ется градиентом скорости и показыва- ет, как быстро меняется скорость в на- правлении, перпендикулярном направ- лению движения слоев.
Модуль силы внутреннего трения равен:
Fтр
η v S, (10.8)
z
где – динамический коэффициент вязкости.
Коэффициент вязкости зависит от температуры жидкости и различен для разных сред. Например, при температуре 20оС коэффициенты динамической вязкости равны:
- для воды: = 0,001 Па с;
- для воздуха: = 0,000017 Па с;
- для глицерина: = 0,85 Па с.
Характер течения вязкой жидкости определяется безразмерным числом, ко- торое называется числом Рейнольдса:
где – коэффициент вязкости;
– плотность жидкости;
R = ρ<v>L,
|
(10.9)
< v > – средняя скорость течения;
L – линейный размер, в котором наблюдается неоднородность скорости. Например, при движении шара в жидкости таким размером является диа-
метр шара, при движении жидкости в трубе – диаметр трубы и т.д.
Число Рейнольдса определяет переход от ламинарного течения к турбу- лентному. Обычно турбулентное течение возникает при Rе > 103. При этом си- ла сопротивления уже не зависит от вязкости. В этом случае обмен импульсами между слоями происходит в результате активного «перемешивания» жидко- стей, а не в результате диффузии, как при ламинарном течении.
При больших Rе сопротивление сильно зависит от формы тела. Обтекае- мую форму, уменьшающую сопротивление, придают многим движущимся предметам: самолетам, автомобилям, ракетам и т.д.
ИТОГИ ЛЕКЦИИ № 10
1. При изучении движения жидкостей пользуются физическими моделями:
- несжимаемая жидкость – жидкость, плотность которой всюду одинако- ва и не изменяется со временем;
|
|
- идеальная жидкость – жидкость, в которой отсутствуют силы трения.
2. Движение жидкости называется течением.