Преобразования Галилея – это уравнения, связывающее координаты и время некоторого СОБЫТИЯ в двух инерциальных системах отсчета. СОБЫ- ТИЕ определяется местом, где оно произошло (координаты x, y, z), и моментом времени t, когда произошло событие. Событие полностью определено, если за- даны четыре числа: x, y, z, t – координаты события.
Пусть материальная точка m в системе отсчета К в момент времени t име- ла координаты x, y, z, т.е. в системе K заданы координаты события – t, х, y, z. Найдем координаты t', x', y', z' этого события в системе отсчета К', которая движется относительно системы К равномерно и прямолинейно вдоль оси х со скоростью V. Выберем начало отсчета времени так, чтобы в момент времени
t = 0 начала координат совпадали. Оси х и х' направлены вдоль одной прямой, а
оси у и у', z и z' – параллельны.
Рис. 11.1
Тогда из рис. 11.1 ОЧЕВИДНО:
x = x' + Vt.
Кроме того, ясно, что для наших систем координат
y = y',
z = z'.
В механике Ньютона предполагается, что
t = t',
т.е. время течет одинаково во всех системах отсчета.
|
|
Полученные четыре формулы и есть преобразования Галилея:
x = x' + Vt, y = y',
z = z', . (11.1)
t = t'.
Принцип относительности Галилея утверждает:
Никакими механическими опытами нельзя установить, покоится ли дан- ная система отсчета или движется равномерно и прямолинейно.
Это утверждение согласуется с преобразованиями Галилея (11.1). Продифференцируем их два раза по времени. После первого дифферен-
цирования получим закон сложения скоростей:
т.е., по (2.2):
vx v'x V,
vy v'y , . (11.2)
vz v'z .
Три скалярные формулы (11.2) являются правилом преобразования скоро- стей в механике Ньютона или законом сложения скоростей.
Второе дифференцирование дает
т.е., по (2.9а):
ax a'x ,
ay a'y ,. (11.3)
az a'z .
Ускорение материальной точки одинаково в обеих системах отсчета. Три
скалярные соотношения (11.3) можно записать в векторном виде: a a'.
Кроме того, силы, действующие на частицу, одинаковы, не изменяется и
величина m (по определению, это масса покоя).
Значит, в системе К второй закон Ньютона (см. (4.4)): ma
F, такой же,
как и в системе К': ma F.
Иными словами, на теоретическом уровне, принцип относительности Га- лилея можно сформулировать так: законы механики одинаково выглядят во всех инерциальных системах отсчета, т.е. инвариантны относительно преобра- зований Галилея.
Неудовлетворительность механики Ньютона при больших скоростях
Рассмотрим с точки зрения преобразований Галилея движение света (рис. 11.2).
|
|
Рис. 11.2
В системе К' его скорость v'x = c. Тогда, используя полученный закон сложения скоростей (11.2) для скорости света в системе К, найдем:
|
|
Опубликованные в 1881 году результаты опытов, выполненных американ- ским физиком А. Майкельсоном, находятся в противоречии с только что полу- ченной нами формулой: галилеевский закон сложения скоростей не годится для света. Скорость света оказалась одинаковой в разных системах отсчета!
В 1895 году французский математик, физик и философ А. Пуанкаре впер- вые выступил с новаторским предложением о невозможности никакими физи- ческими опытами (не только механическими, как в принципе относительности Галилея) зарегистрировать абсолютное движение. В 1902 году он же публикует в книге «Наука и гипотеза» утверждение об отсутствии абсолютного времени,
т.е. t t'.
Законченная теория, позволяющая описывать движение частиц со скоро- стями v с, была опубликована в 1905 году в работах А. Пуанкаре и А. Эйн- штейна.
§ 2. Постулаты СТО. Преобразования Лоренца
Специальная теория относительности (СТО), базируется на двух исходных утверждениях, постулатах:
I. Принцип относительности, согласно которому никакими физическими опытами нельзя установить, покоится ли данная система отсчета, либо движется равномерно и прямолинейно.
Другая формулировка:
Все законы природы одинаково формулируются для всех инерциальных систем отсчета.
II. Принцип постоянства скорости света: cкорость света в вакууме во всех инерциальных системах отсчета одинакова и не зависит ни от движения источника, ни от движения приемника света.
Преобразования Лоренца – это уравнения, связывающие координаты и время некоторого события в двух инерциальных системах отсчета. В отличие от преобразований Галилея, преобразования Лоренца не должны противоречить постулатам СТО: необнаружимости абсолютного движения и постоянству ско- рости света. При скорости движения системы отсчета V << с преобразования Лоренца должны переходить в преобразования Галилея.
Такие преобразования были найдены в 1904 году голландским физиком Г.А. Лоренцом и имеют следующий вид:
а) прямые | б) обратные |
x x' , | x' x Vt , |
y y', | y' y, |
z z', (11.4а) | z' z, (11.4б) |
t t' V x'; c2 | t' t V x. c2 |
Здесь буквой для удобства записи обозначена следующая величина:
. (11.5)
|
V
t'1 t' 2 x'1 x'2 | |
K' |
Для наглядности представим, что в разных местах произошли две одно- временные вспышки света.
Используя преобразования Лоренца (11.4а), получим, что время первого
события в системе К:
x'
второго –
1 1,
1 x'2.
ны.
Видно, что t2 > t1, так как x 2 > x. В системе К события не одновремен-
Таким образом, в теории относительности понятие одновременности ста-
новитсяотносительным, т.е. зависящим от выбора системы отсчета.
Отметим, что полученный нами результат касается только таких событий, которые причинно не связаны друг с другом (ясно, что рассмотренные нами со- бытия, происходящие одновременно в разных местах, не могут оказывать при- чинно-следственного воздействия друг на друга).
|
|
Если же между событиями существует причинно-следственная связь, то, как можно показать, событие-причина во всех системах отсчета предшествует событию-следствию.