Розв’язування довільних систем лінійних рівнянь. Теорема Кронекера-Капеллі

 

Якщо система лінійних рівнянь з n невідомими містить m рівнянь, то методом Гаусса розширена матриця системи буде приведена до трапецієподібного вигляду:   

Сумісність цієї системи визначається теоремою Кронекера-Капеллі.

Теорема 6 (Кронекера-Капеллі)

Для того, щоб система була сумісною, необхідно і достатньо, щоб ранг її розширеної матриці дорівнював рангу основної.

Нехай система сумісна. Ранг розширеної матриці дорівнює . Виберемо мінор порядку , виділимо з системи систему  рівнянь, серед коефіцієнтів яких містяться елементи базисного мінору. В лівих частинах рівнянь цієї системи залишимо такі  невідомих, коефіцієнти при яких є елементами базисного мінору. Ці невідомі називаються базисними. Решту невідомих (n– ) перенесемо до правої частини, назвемо їх вільними невідомими. Розв’язуємо систему відносно базисних невідомих. Якщо х₁,х₂,... х _l – базисні невідомі, а х_{l +1}, х_{l +2},... х _n – вільні, то система запишеться у вигляді:

, який називається розв’язком системи.

 

Приклад 11

Розв’язати систему рівнянь:

1. Обчислюємо визначник системи:

= =1(4+10)–2(8+8)+3(10–4)=14–32+18=0.

Матриця системи особлива, тому розв’язати за формулами Крамера не можна. Використаємо метод Гаусса.

Запишемо розширену матрицю системи і виконаємо елементарні перетворення:

.

Як бачимо, ранг розширеної матриці дорівнює рангу основної матриці (r =2), тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна, але має нескінченне число розв’язків.

Виберемо базисний мінор M= = –3 0. Базисні невідомі: х ₁, х ₂. Вільні невідомі: х ₃.

Дана система рівносильна такій:

      

 

 

Позначимо вільну невідому х ₃= с(с R), тоді розв’язок запишеться так:

Частинний розв’язок одержимо, якщо с = 1

Приклад 11

Розв’язати систему рівнянь:

 

1. Запишемо розширену матрицю і виконаємо елементарні перетворення Гаусса.

Як бачимо, ранг матриці дорівнює рангу розширеної матриці r(A) = r(  )=2, тому за теоремою Кронекера-Капеллі система сумісна.

2. Виберемо базисний мінор М = . Базисні невідомі: х ₁, х ₂, вільні невідомі: х _3, х ₄, х _5.

3. Знайдемо базисні невідомі:

         

Нехай х ₃= с ₁, х ₄= с ₂, х ₅= с ₃ (с ₁, с₂, с ₃ – дійсні числа). Розв’язок системи: