Функция f(x1,x2,…,xn) имеет максимум (минимум) в точке Р, если для всех отличных от Р точек Р1 в достаточно малой окрестности точки Р выполняется неравенство f(p)<f(p1). Максимум или минимум функции называется локальным экстремумом. Точки, в которых дифференцируемая функция f(x1,x2,…,xn) может достигать экстремума, называются стационарными точками.
Необходимые условия экстремума. Если дифференцируемая функция u=f(P) достигает экстремума в точке Р0,то в этой точке все её первые частные производные обращаются в ноль, т.е. (2.12)
Из решения системы уравнений (2.12) находят координаты стационарных точек.
Достаточные условия экстремума. Пусть функция u=f(P) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности её стационарной точки Р0. Тогда если второй дифференциал d2u(P0) в окрестности точки Р0 имеет постоянный знак, то функция имеет максимум в точке Р0, если d2u(P0)<0 и минимум, если d2u(P0)>0. Для функции двух переменных z=f(x,y) достаточные условия формулируются следующим образом. Пусть P0(x0;y0)- стационарная точка функции z=f(x,y) и
|
|
Тогда: а) если D>0, то в точке P0(x0;y0) есть экстремум, причём максимум, если A<0 и минимум, если A>0;
б) если D<0, экстремума в точке P0(x0;y0) нет;
в) если D=0 – требуются дополнительные исследования.
Пример: исследовать функцию на экстремум z=2x3+2y3-36xy+430.
Находим первые частные производные
Найдём стационарные точки, решив систему:
Из первого уравнения y=, подставив его во второе уравнение, получим
x4-216x=0, которое запишем так x(x3-216)=0. Разлагая на множители выражение в скобках получим: x(x-6)(x2+6x+36)=0.
Данное уравнение имеет два действительных корня x1=0, x2=6. Получили две стационарные точки P1(0;0) и P2(6;6).
Проверим достаточные условия для каждой из точек:
A= =12x; C= =12y; B= = -36
Точка Р1(0;0): A=0; C=0; D=AC-B2<0, т.е. в точке P1(0;0) экстремума нет.
Точка P2(6;6): A=72; C=72: D=72·72-362>0 - в точке Р2(6;6)- экстремум есть, а т.к. A=72>0, то имеет место минимум zmin=-2.
Пример: найти стационарные точки и исследовать их характер у функции
z=x3+y3-3xy
Составляем систему для нахождения стационарных точек:
, т.е. x=y2, подставим это равенство в первое уравнение,
получим
3y4-3y=0; 3y(y3-1)=3y(y-1)(y2+y+1)=0.
Возможны два решения y=0, тогда и x=0, т.е. первая стационарная точка Р1(0;0).
Или y=1, тогда x=1, вторая стационарная точка Р2(1;1).
Проверим достаточные условия для каждой из точек;
A=
Р1(0;0): A= =0; т.е. D=0·0-(-3)2 <0-экстремума нет.
Р2(1;1): A= =6; C= =6; B= =-3, т.е. D=6·6-9>0, и A= =6>0,
т.е. в точке Р2(1;1)- минимум.
Zmin(1;1)=-1
Двойные интегралы.
Индивидуальные домашние задания второго семестра кроме задач на несобственные интегралы и дифференцирование ФМП содержат задачи на интегральное исчисление функций двух и трех независимых переменных. Задания по теме «Двойные интегралы» включают в себя следующие задачи: а) начертить область, на которую распространен двойной интеграл, поменять порядок интегрирования, записать интеграл в полярной системе координат;
|
|
б) используя представление о декартовой и полярной системах координат на плоскости, решить задачу на приложения двойного интеграла. Задача об объеме цилиндрического тела приводит нас к понятию двойного интеграла. Если функция f(x,y) = f(P) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D плоскости XOY, а - площади элементарных подобластей, полученных разбиением области D, диаметры которых d , то предел интегральных сумм (если он существует) называется двойным интегралом от функции f (x,y) по области D:
3.1 Свойства двойного интеграла.
а) геометрический смысл двойного интеграла – объем цилиндрического тела
б) если f(x,y) = 1, то численно двойной интеграл равен площади области D
в) константу можно выносить за знак интеграла
г) интеграл от суммы функций равен сумме интегралов
д) если D= , где - не пересекаются, то
е)