2020-04-12
3009
Наиболее часто используемыми криволинейными координатами являются цилиндрические координаты (φ,ρ,z) (рис.4.1) 
Рис. 4.1
Рис.4.2
Связь декартовой и цилиндрической систем координат:
(4.1)
В отдельных случаях, особенно если пространство “V” ограничено сферой с центром в начале координат или сферой и конусом, с вершиной в начале координат, используется сферическая система координат (φ,θ,r) рис.4.2.
Связь сферической и декартовой систем координат:
(4.2)
Пример: расставить пределы интегрирования по области “V” в декартовой, цилиндрической и сферической системах координат, если область “V” ограничена поверхностями:
Для того, чтобы расставить пределы интегрирования, необходимо начертить, как минимум, две проекции, одну на вертикальную плоскость XOZ или YOZ и другую на горизонтальную- XOY. Начать всегда рекомендуется с вертикальной проекции, т.к. в задачах, в основном, встречаются тела вращения, проекция которых на горизонтальную плоскость XOY – окружности. Т.к. в данной задаче в уравнении конуса коэффициенты при 
одинаковые (единицы), то это круговой конус. Коэффициенты у 
и, соответственно, у 
тоже одинаковые (единицы), следовательно, образующие конуса расположены под углом 
|
|
|
Рис. 4.3 Рис. 4.4
Уравнения параболоида 
, т.е. вершина параболоида находится на оси OZ в точке (0;0;1). Для проекции на плоскость ZOX находим точки касания (или пересечения) образующих конуса и соответствующей параболы.
, тогда 
Т.е. касание происходит при z=2. Тогда радиус круга (проекция на XOY) R=2. Т.к. 
, то проекцией на XOY будет являться четверть круга 
находящаяся в IV четверти: 
. А так как поверхности пересекаются только при z > 0, для параболоида 
, для конуса z=√x²+ y²
Декартовая система координат:
В цилиндрической системе (как в полярной на плоскости) 
(IV четверть) уравнение окружности 
, т.е. ρ=2. Конус 
в цилиндрической системе координат 
.
Интеграл по заданной области “V” в цилиндрической системе координат
В сферической системе угол 
тот же, что и в цилиндрической, т.е.
. Угол 
– угол в проекции на вертикальную плоскость между конусом и параболоидом, т.е. 
Т.к. в этом диапазоне углов на вертикальной проекции находится только параболоид, то уравнение параболоида 
в сферической системе координат:
, т.к. 
, то
, или 
Решая это квадратное уравнение относительно r, получим
т.к. при функция 
растет, а функция 
убывает, то выражение под корнем 
. Т.к.
|
|
|
,то упростим подкоренное выражение 
.
Тогда 
и 
В сферической системе координат интеграл примет вид:
Пример: область “V” ограничена поверхностями: 
.
Поверхность 
– параболоид с вершиной в точке (0;0;-4). Начинаем построение проекции с проекции на вертикальную плоскость ZOX. На плоскость горизонтальную XOY поверхность проектируется кругом (при z=5), радиуса R=3. Область расположена во II квадранте.
Декартовая система координат:
Цилиндрическая система координат: параболоид в цилиндрической системе:
Рис. 4.5 Рис. 4.6
В принятой сферической системе координат изменение угла 
, поэтому находим угол 
, расположенный в правой полуплоскости:
т.е. 
Параболоид в сферической системе координат:
;
;
, тогда 
, т.к. 
то выбираем 
.
В сферической системе интеграл разбивается на два, т.к. до 
область ограничена (на проекции ZOX) параболой, а при 
область ограничена z=5 (в сферической системе 
, т.е. 
)
Пример: расставить пределы интегрирования по области “V”, ограниченной поверхностями: 
; 
; x=0; y=0; z=0 для 
(внутри цилиндра)
– цилиндрическая поверхность с образующей параллельной оси OZ. Проектируется на плоскость XOY окружностью радиуса R=1
– параболоид вращения с вершиной в точке (0;0;2)
Рис. 4.7 Рис. 4.8
Декартовая система координат: 
В цилиндрической системе координат параболоид 
имеет уравнение 
.
Тогда 
В сферической системе координат интеграл разбивается на два. Уравнение параболоида примет вид:
;
Решаем квадратное уравнение относительно параметра r
Тогда 
Параболоид пересекается с цилиндром при z=1 поэтому в первом интеграле 
.
Геометрические и физические приложения тройных интегралов.
1. Объем тела:
2. Масса тела с переменной плотностью µ(x,y,z):
3. Статические моменты тела относительно координатных плоскостей:
4. Координаты центра масс тела:
5. Моменты инерции относительно осей координат:
Пример: найти объем тела ограниченного сферой
и параболоидом 
Рис. 4.9 Рис. 4.10
Решая совместно заданные уравнения поверхностей, получим, что поверхности пересекаются при z=a по кругу радиуса 
. Используем цилиндрические координаты: 
.
Уравнение верхней половины сферы в цилиндрической системе
координат 
Уравнение параболоида: 
Тогда 
Пример: найти массу пирамиды, ограниченной координатными плоскостями и плоскостью 
, если плотность тела µ= х.
Пирамида снизу ограничена плоскостью z =0, а сверху плоскостью z=6-2x-2y. Поэтому достаточно начертить одну проекцию на плоскость XOY.
Рис. 4.11
Вычисление проводим в декартовой системе координат.
Пример: найти моменты инерции однородного (µ=k=const) цилиндра относительно диаметра основания и оси.
Если система координат введена так, как показано на рисунке 4.12, то мы должны найти 
Рис. 4.12
Вычисляем интегралы в цилиндрической системе координат.
Пример: найти координаты центра тяжести половины шара радиуса R, если плотность пропорциональна расстоянию от центра шара. Т.к. тело является частью сферы, то вычисления будем вести в сферической системе координат.
Плотность 
, где к – коэффициент пропорциональность. В сферической системе координат все пределы интегрирования будут константами:
Тогда
Если все пределы интегрирования константы, а подынтегральная функция является произведение функций, т.е. 
, то тройной интеграл можно представить как произведение трех определенных интегралов.
Вычисляем статические моменты:
|
|
|
Т.к. 
, следовательно, 
, что очевидно и без вычислений.
Тогда 
