Пусть АВ – дуга кусочно-гладкой пространственной кривой, в каждой точке которой определена непрерывная функция f(x,y,z). Разбивая дугу на части ∆l i и выбирая в каждой части произвольную точку Mi(xi,yi,zi), вычислим значение f(Mi). Умножим это значение на длину элементарной дуги ∆li. Сложим все произведения, и найдем предел этой суммы при условии, что наибольшая из элементарных дуг max ∆li→0, а их число n→∞.
lim f(x,y,z)dl (5.1)
max∆li→0
При непрерывности функции f(x,y,z) на дуге АВ этот предел существует и не зависит от способа разбиения дуги на части. Этот предел называется криволинейным интегралом I рода. Физическая интерпретация криволинейного интеграла первого рода (5.1) - масса кривой АВ. Вычисление криволинейного интеграла I рода сводится к вычислению определенного интеграла.
Если кривая АВ задана параметрическими уравнениями: x=X(t), y=Y(t),z=Z(t), где tА≤ t ≤ tB, то
f(x,y,z)dl= · dt.
Если кривая АВ задана на плоскости уравнением y=f(x) при a≤x≤b, то
f(x,y)dl= · dx.
5.1. Задачи на механические приложения криволинейного интеграла.
С помощью криволинейного интеграла I рода можно вычислить:
а) массу кривой
m= , где - плотность
б) статические моменты относительно координатных осей для плоской дуги
Mx = My=
в) статические моменты относительно координатных плоскостей для пространственной дуги
Mxoy= Myoz=
Mxoz=
г) моменты инерции относительно координатных осей плоской дуги
Jx= Jy=
д) координаты центра тяжести
xc= yc= zc=
Пример: вычислить интеграл
2 ydl, где ﮞ АВ – часть окружности + = , лежащая в первой четверти.
Тогда y= . Найдем дифференциал дуги dl= dx
y′=- ; = ; 1 + 1 + =
Тогда dl= dx
2ydl= dx=R dx=
Пример: вычислить dl, где АВ - дуга кубической параболы y=x3 от точки (1;1) до точки (2;8)
Найдем дифференциал дуги dl= dx
y′=3x2; 9x4; 9x4;
Тогда dl = dx
d l= dx = dx- =J1-J2
J1= dt
= · = ·( - )
J2= =
=
J1-J2= ·( - )-
Пример: найти массу одной арки циклоиды, считая плотность постоянной, равной единице.
x =a(t- ); y=a(1- ); 0≤t≤2π
Найдем дифференциал дуги
dl= =a(1- ); =a ;
+ =a2(1+2 + + = a2(1+2 +1)=
a2(2+2 )=2 a2(1+ )=4 a2
Тогда dl=2a dt
m= =-4a =-4a(-1-1)=8a
Пример: найти массу дуги однородной пространственной кривой
(a>0)
от точки О(0,0,0) до точки А(x0, y0, z0).
Если в задаче сказано, что дуга однородная, принимаем плотность f(x,y,z)=const= 1.
Найдем массу дуги по формуле m= при dl=
dl= = dx=
m= = ·
= = =
Пример: найти статический момент относительно плоскости XOY части
однородной конической винтовой линии.
x =t ∙cos t, y= t∙ sin t, z=t при 0≤t≤t0
Mxoy=
dl=
= (tcos(t))′=t′cos(t)+t(cos(t))′=cos(t)-tsin(t)
=(tsin(t))′=t′sin(t)+t(sin(t))′=sin(t)+tcos(t)
dl= dt=
= =
= dt= dt
f(x,y,z)=const=1
Mxoy= = dt= =
= = dx= = ( )= ( - )
Пример: найти центр тяжести однородной дуги.
(-∞< t ≤ 0)
Примем плотность f(x,y,z)=const= 1
m= dl
dl=
ẋ= - = (cost-sint)
ẏ= + = (sint+cost)
ż=
dl= dt=
= dt
m= = = ( - )=
Myoz=
Myoz= *costdt= *costdt= ( (sint+2cost) =
= * *2=0.4
При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”
*costdt dt =
= *cost-4 *costdt
5 *costdt= *cost
*costdt=
Mzox=
Mzox= *sintdt= ( (cost-2sint) =
= *( - )*1=- 0.2
При вычислении интеграла используем формулу “интегрирования по частям”
*sintdt =- *cost 2 + =
=- *cost+2 *sint- 4 *costdt
5 =- *sint+2 *cost
=-
Mxoy=
Mxoy= dt= = = * =0.5
Координаты центра тяжести:
xц.т.= = =0.4
yц.т.= = =-0.2
zц.т.= = =0.5
6. Поверхностный интеграл первого рода
Пусть S – поверхность в трёхмерном пространстве Оxyz, а F(x,y,z) непрерывная функция, определённая в точках этой поверхности. Поверхность S сетью линий разобьём на n участков ΔS1, ΔS2,...., ΔSi,..., ΔSn, не имеющих общих внутренних точек (рис.6.1). Площади "элементарных" участков обозначим теми же буквами Si(i = 1,...,n), а наибольший из диаметров этих участков через λ. На каждом "элементарном" участке ΔSi произвольным образом выберем по точке Mi(xi,yi,zi) (i = 1,...,n) и составим сумму
которая называется интегральной суммой для функции F(x,y,z) по поверхности S.
Если существует конечный предел
не зависящий от способа разбиения поверхности S на "элементарные" участки ΔSi и от выбора точек Mi ΔSi(i=1,....n), то он называется поверхностным интегралом первого рода от функции F(x,y,z) по поверхности S и обозначается
Если поверхность S задана уравнением z= f(x,y), где функция f(x,y) и её частные производные f'x(x,y) и f'y(x,y) непрерывны в замкнутой области координатной плоскости Oху, а функция F(x,y,z) непрерывна на S, то интеграл
существует.
Вычисление поверхностных интегралов первого рода обычно производится путём их сведения к двойным интегралам. Пусть выполнены все условия, приведенные выше, тогда, обозначив проекцию ΔSi (и площадь проекции) на плоскость Oxy через ΔDi, по теореме о среднем будем иметь:
где (xi, yi) ΔDi, а, следовательно,
при данном выборе точек Mi. Но сумма, стоящая справа, в последнем интеграле есть интегральная сумма для функции
Переходя к пределу, получаем:
Свойства поверхностного интеграла первого рода
1. Если положить F(x,y,z)=1, то интеграл будет численно равен площади поверхности S.
2.Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла.
3.Интеграл от алгебраической суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых.
4.Если область S состоит из 2-х частей, описываемых разными уравнениями, то
5.Если F(x,y,z)≥ φ (x,y,z) то
6.
6.2. Задачи на механические приложения поверхностного интеграла 1-ого рода.
1.Если F(x,y,z) - плотность вещества, то масса поверхности S
2.Если F(x,y,z)=1, то интеграл численно равен площади поверхности S.
3.Статистические моменты относительно координатных плоскостей
4.Моменты инерции относительно координатных осей
5.Моменты инерции относительно координатных плоскостей
6.Координаты центра масс
Пример: вычислить поверхностный интеграл
где S - поверхность конуса
при 1≤ z ≤2 (рис.6.2)
Очевидно, что поверхность S проектируется на плоскость Oxy в кольцо D: 1 ≤x2+y2 ≤2
В области D функция
и её производные
и
непрерывные функции.
Следовательно,
Пример: вычислить поверхностный интеграл I рода.
где S – часть плоскости x+y+z=1, лежащая в I октанте.
z=1-x-y, zx’=-1; zy’=-1
рис.6.3.
Пример: найти массу поверхности полусферы
если в каждой её точке поверхностная плоскость вещества пропорциональна квадрату расстояния этой точки от оси Oz.
Имеем
и, следовательно,
x2+y2≤4 – переходим в полярную систему координат
Масса поверхности полусферы равна .
Пример: найти моменты инерции однородной треугольной пластины x+y+z=1 при (x≥0;y≥0;z≥0) относительно координатных плоскостей.
Моменты инерции относительно координатных плоскостей вычисляются по формулам:
где µ - плотность пластины (у однородной пластины µ=1).
рис.6.4.
Моменты инерции равны между собой, т.к. пластина расположена симметрично относительно осей координат в первом октанте.
Таблица производных
(u+v-w)′=u′+v′+w′ c′=0 x′=1
(u·v)′= u′v + v′u
(c·u)′= c·u′
′=
(un)′x= n·un-1·u′x (xn)′= n·xn-1
( )′= ( )′=
′= - ′= -
(au)′x= au·lna·u′ (ax)′= ax·lna
(eu)′= eu·u′ (ex)′= ex
(lnu)′= (lnx)′=
(logau)′= (logax)′=
(lgu)′= (lgx)′=
( )′x= ·u′ ( )′=
( ′x=- ·u′ ( )′= -
(tgu)′= (tgx)′=
(ctgu)′= - (ctgx)′= -
(arccosu)′x= - (arccos x)′= -
(arcsinu)′x= (arcsin x)′=
(arctgu)′x= (arctgx)′=
(arcctgu)′x= (arcctgx)′= -
№ п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
1 | Подстановка φ(x)=t | |
2 | Интегрирование по частям =f(x)φ(x)- Метод интегрирования по частям применяется, например, к интегралам вида , где p(x) – многочлен, eax;cos ax;sin ax;lnx;arctg x;arcsin x и т.п.,а также к интегралам от произведений показательной функции на косинус или синус. | |
3 | (x)dx | Сводится к интегрированию произведения (x)φ(x) с помощью формулы кратного интегрирования по частям: (x)dx= =f(x) -f′(x) + +f′′(x) (x)-… …+(-1)n-1f(n-1)(x)φ(x)+ +(-1)n |
4 | pn(x)dx | Применяя формулу кратного интегрирования по частям, получим pn(x)dx= +C |
5 | P3-4q<0 | Подстановка x+ =t |
№ п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
6 | In= | Применение рекуррентной формулы In= + In-1 |
7 | dx, где -правильная рациональная дробь, Q(x)=(x-x1)′(x-x2 ... …( +px+q … | Подынтегральную дробь представляют в виде суммы простейших дробей = + +…+ + + + +… +…+ + +…+ +… |
8 | ,…, )dx, где R-рациональная функция своих аргументов | Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой x= , где k – общий знаменатель дробей ,…, |
9 | dx | Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой = |
10 | dx | Подстановкой x + =t интеграл приводится к сумме двух интегралов dx=M1 + +N1 Первый интеграл сводится к интегралу от степенной функции, а второй интеграл – табличный. |
№ п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
11 | )dx, где R –рациональная функция от x и | Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановками Эйлера = t±x (a>0), =tx± (c>0) =t(x- ) (4ac- ), где - корень трехчлена Для вычисления указанного интеграла применяются также тригонометрические подстановки: x+ = (a<0, 4ac-b2<0) x+ = (a>0, 4ac-b2<0) x+ = (a>0, 4ac-b2>0) |
12 | dx где - многочлен степени n | Записываем равенство =Qn-1(x) + +k , где Qn-1(x)- многочлен степени n-1 Дифференцируя обе части этого равенства и умножая на , получим тождество )= Qn-1(x)( + + Qn-1(x)(2ax+b)+k Которое дает систему n+1 линейных уравненений для определения коэффициентов многочлена Qn-1(x) и множителя k. Интеграл же берется методом, указанным в п.10 (M=0;N=1) |
№ п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
13 | Этот интеграл приводится подстановкой = к интегралу рассмотренному выше. | |
14 | (a+b )pdx, Где m,n,p-рациональные числа (интеграл от биноминального дифференциала) | Интеграл от биноминального дифферециала выражается через элементарные функции только при выполнении одного из следующих условий: 1) если p-целое число 2) если – целое число 3) если + p – целое число 1-й случай а)если p-целое положительное число,то нужно раскрыть скобки (a+b )p по биному Ньютона и вычслить интегралы от степеней; б)если p- целое отрицательное число, то подстановка x = , где k – общий знаменатель дробей m и n, приводит к интегралу от рациональной дроби; 2-й случай если - целое число, то применяется подстановка a+b =tk, где k – знаменатель дроби p; 3-й случай если - целое число, то применяется подстановка a+b = tk, где k – знаменатель дроби p; |
15 | Универсальная подстановка tg =t Если R(- = - R(, то подстановка =t. Если R(,то подстановка =t. Если R(,то подстановка =t. |
№ п\п | Вид интеграла | Метод интегрирования |
16 | R(sh x, ch x)dx | Применяется подстановка th =t. При этом sh x= ;ch x= ;dx= |
17 | Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул: = = = = = | |
18 | , где m и n – целые числа | Если m-нечетное положительное, то подстановка =t. Если n-нечетное положительное, то подстановка =t. Если m+n-четное отрицательное, то подстановка tgx=t. Если m и n –четные неотрицательные, то применяют формулы: = ; = |
19 | , (0<x< ) p и q- рациональные числа | Подстановкой =t приводится к интегралу от биноминального дифференциала =tp(1-t2 dt |
20 | )dx | Постановка преобразуется в интеграл от рациональной функции. |
Варианты заданий на несобственные интегралы и ФМП
Вариант № 1