Рис. 9
Определение. Длиной дуги называется предел, к которому стремится периметр вписанной в эту дугу ломаной, когда число ее звеньев неограниченно растет, а наибольшая из длин звеньев стремится к нулю.
Длина ломаной линии, которая соответствует дуге, может быть найдена как (см. рис.9). Тогда длина дуги равна .
Из геометрических соображений имеем:
.
Переходя к пределу, получим .
Окончательно можно записать
.
Если уравнение кривой задано параметрически, то с учетом правил вычисления производной параметрически заданной функции получаем
,
где .
Если задана пространственная кривая, где , то
Если кривая задана в полярных координатах, то
, r = f(j).
Пример. Найти длину окружности, заданной уравнением (см. рис. 10).
Рис. 10
Запишем данное уравнение в полярной системе координат, положив .
Тогда получим: . Т.е. функция , и для длины окружности можно записать: