1) Постоянный множитель может быть вынесен за знак интеграла:
где A =const.
2) Интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической
сумме интегралов от слагаемых:
Замечание. Свойства 1 и 2 называются свойством линейности определенного интеграла.
3) При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл
меняет знак:
4) Для любых трех чисел справедливо равенство
,
если только все три интеграла существуют. Это свойство называется
свойством аддитивности.
5) Если на отрезке выполняется неравенство , то
6) Если функции и интегрируемы на отрезке и для любого
, где , справедливо неравенство , то
.
Доказательство свойств 1) – 6) проводится с использованием формулы (2).
7) Оценка определенного интеграла. Теорема о среднем.
Теорема: Если m и M – соответственно наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [ ], то:
, где .
Теорема о среднем: Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка такая, что
(3)
|
|
Доказательство: В соответствии с предыдущей теоремой
.
Обозначим
, (4)
где - некоторое число, удовлетворяющее неравенствам, где . Так как функция непрерывна на отрезке , то она принимает на этом отрезке все значения от m до М. Другими словами, на отрезке найдется такая точка , для которой . Тогда из равенства (4) получаем
.
Теорема доказана.
Замечание. Значение функции в точке , определяемое из равенства (3)
,
называется средним значением функции на отрезке .