Счетные и несчетные множества

Определение. С чётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Другими словами, счётное множество – это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Иногда счётными называются множества равномощные любому подмножеству множества натуральных чисел, то есть все конечные множества тоже считаются счётными. Счётное множество является «простейшим» бесконечным множеством, то есть: в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество; всякое подмножество счётного множества конечно или счётно; если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество, эквивалентное исходному.

Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом À₀ (произносится: «алеф-ноль»).

Свойства счетного множества

1. Всякое бесконечное множество имеет счётное подмножество.

2. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).

3. Если к бесконечному множеству присоединить конечное или счётное, то получится множество эквивалентное исходному^[1].

4. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.

5. Декартово произведение конечного числа счётных множеств счётно.

6. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.

7. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Определение. Континуум – этомощность множества всех вещественных чисел. Обозначается строчной латинской буквой C. Множество, имеющее мощность континуум, называется континуальным множеством. Также термин «континуум» может обозначать само множество вещественных чисел, или даже любое континуальное множество.

Определение. Несчётное множество – такое бесконечное множество, которое не является счётным. Таким образом, любое множество является либо конечным, либо счётным, либо несчётным.

ПРИМЕРЫ

Счётные множества

· натуральные числа

· целые числа

· рациональные числа

· алгебраические числа

· множество всех конечных слов над счётным алфавитом

· множество всех слов над конечным алфавитом

· любое бесконечное семейство непересекающихся открытых интервалов на действительной оси

· множество всех прямых на плоскости, каждая из которых содержит хотя бы 2 точки с рациональными координатами

· любое бесконечное множество точек на плоскости, все попарные расстояния между элементами которого рациональны

Несчётные множества

· вещественные числа

· комплексные числа