Метод интегрирования подстановкой

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования. При этом заданный интеграл приводится к новому, который является табличным или к нему сводящимся.

Пусть требуется вычислить интеграл . Сделаем подстановку ,  – функция, имеющая непрерывную производную. На основании свойства инвариантности, получаем формулу интегрирования подстановкой

                          .                                           

Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле. После нахождения интеграла правой части следует перейти от новой переменной интегрирования t к старой переменной х.

Иногда целесообразно подбирать подстановку в виде , тогда , где . Т.е. формулу можно применять справа налево.

Примеры:

1.

2.

Метод интегрирования по частям

Пусть u=u (x) и v=v (x) функции, имеющие непрерывные производные. Формула интегрирования по частям имеет вид:

                                                                                      

 

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv; затем после нахождения v и du используется формула интегрирования по частям. Иногда формулу применяют несколько раз.

Типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям, указаны на схеме (рис.1.1).

Формула интегрирования по частям

Интегралы вида

Интегралы вида

Интегралы вида

применить формулу дважды   при

Рисунок 1.1 – Схема применения формулы «интегрирование по частям»

Примеры:

1.

2.

Интегрирование выражений, в знаменателе которых стоит квадратный трехчлен.

В квадратном трехчлене выделим полный квадрат и сделаем подстановку.

Примеры: Найти интегралы:

.