2020-05-11
79
1. Интегралы типа 
; 
; 
вычисляются с помощью известных формул тригонометрии
.
Пример: 
.
2. Для нахождения интегралов типа 
используют следующие приемы:
а) подстановка 
, если n (степень косинуса) – целое положительное нечетное число;
б) подстановка 
, если m (степень синуса) – целое положительное нечетное число;
в) если m и n – целые неотрицательные четные числа, используются формулы понижения порядка 
;
г) подстановка 
, если (m+n) - четное отрицательное целое число.
Пример:
3. Интегралы типа 
, где 
– где рациональная функция.
В обозначении 
предполагается, что над указанными аргументами допустимы операции сложения, вычитания, умножения, деления. Этот интеграл сводится к интегралу от рациональной дроби с помощью универсальной тригонометрической подстановки: 
, откуда 
; 
; 
; 
.
Пример. Найти интеграл 
Интегрирование некоторых иррациональных функций.
В некоторых случаях интегралы от иррациональных функций удается рационализировать, т.е. с помощью подходящей подстановки свести к интегралам от рациональных дробей. Рассмотрим наиболее типичные случаи.
Если корни в подынтегральном выражении имеют вид 
, делаем подстановку 
, где k - наименьшее общее кратное показателей корней, т.е. чисел n, q, s.
Пример.
Вопросы для самоконтроля.
1. Дайте определение первообразной.
2. Дайте определение неопределенного интеграла.
3. Как обозначается неопределенный интеграл?
4. Перечислите свойства неопределенного интеграла.
5. В чем заключается суть метода подстановки?
6. Расскажите о методе интегрирования по частям.
7. Расскажите об интегрировании тригонометрических функций.
Литература: [3] стр. 226-256, [6] стр. 335-370, [7] стр. 257-294.
Примеры: [1] стр. 208-242, [5] стр.149-164.
