3.1. ПРОЕКЦИИ СИЛЫ
Проекцией вектора на ось называется скалярная величина, равная произведению модуля вектора на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси.
То есть проекция вектора на ось равна
.
Дадим этому определению геометрическое пояснение.
Пусть в трехмерном пространстве задана ось L, направление которой указано вектором единичной длины (направляющим вектором), и вектор , начало которого находится в т. А, а конец, ─ в т. В (рис. 3.1).
Через точки А и В проведем перпендикулярно оси L две плоскости: П1 и П2. Параллельно оси L через точку А проведем направление n.
Численно величина проекции вектора на ось равна отрезку АС или отрезку А1С1, а знак проекции зависит от величины угла:
· при проекция силы положительна,
· при ─ отрицательна,
· при ─ равна нулю.
Можно дать и другое определение проекции вектора на ось.
Проекцией вектора на ось называется скалярное произведение вектора на направляющий вектор оси.
|
|
Действительно, ,
где ─ угол между направлением вектора и единичного вектора .
Рис. 3.1
Рассмотрим некоторые частные случаи проецирования вектора на ось:
Рис. 3.2
Проекцией вектора на плоскость называется вектор, заключенный между проекциями начала и конца вектора на эту плоскость.
Так на рис. 3.3 вектор является проекцией вектора на плокость Oxy.
Если вектор задан выражением
,
то аналитическое выражение проекции этого вектора на плоскость Oxy можно получить, приравняв к нулю проекцию вектора на ось z:
.
Рис. 3.3
Модуль этого вектора равен:
Для определения проекции силы на ось удобно сначала спроецировать силу на плоскость, в которой эта ось лежит, а затем найденную проекцию спроецировать на ось.
Этот прием называют методом двойного проецирования.
Аналогично проецируется сила и на две другие плоскости.
Заметим, что
· Проекции вектора на параллельные оси равны.
· Проекции вектора на параллельные плоскости геометрически равны.
3.2. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ СИЛЫ
Рассмотрим силу , которая представлена вектором с началом в точке и с концом в точке (рис. 3.4).
Для указания точки приложения силы используем радиус-вектор
,
соединяющий начало системы координат и точку приложения силы.
Проекции вектора на координатные оси равны координатам точки , в которой приложена сила .
Информация о величине и направлении силы может быть представлена двумя способами.
Рис. 3.4
Первый способ
Представим вектор силы в виде произведения (рис. 3.4)
|
|
,
где − модуль силы, а − единичный вектор, указывающий направление силы (направляющий вектор):
,
где − направляющие косинусы вектора (рис. 3.4):
.
Чтобы таким способом задать вектор, необходимо знать углы и значение его модуля − .
Второй способ (аналитический)
Аналитическое выражение вектора силы дается следующим образом:
.
где , , − проекции вектора на координатные оси (рис. 3.4).
То есть, для аналитического задания вектора силы необходимо указать три его проекции: , , .