Дата | Группа |
1111 | |
1211 | |
1311 | |
1411 | |
1511 |
Наименование учебной дисциплины
ОУДП.12 Математика
Наименование темы учебной дисциплины Тема 4.1 Элементы теории вероятностей
Тема практического занятия: Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики.
Количество часов: 2 часа
Место проведения: Кабинет Математики
Характер работы: репродуктивный
Форма организации учебной деятельности студентов: индивидуальная
Образовательные задачи:
1)Обобщение, закрепление теоретических знаний:
- Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания; основные правил комбинаторики.
2)Формирование умений:
- решения практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики
- решения задач из Открытого банка заданий для подготовки к ЕГЭ по математике
3) Формирование интеллектуальных и исследовательских умений:
- выделять главное, существенные признаки;
- осуществлять самоконтроль и коррекцию своей учебной деятельности;
|
|
- рационально использовать рабочее время.
4)Формирование компонентов компетенций
- владеть основами научной организации труда.
Оборудование (аппаратура, материалы и др.):
– раздаточный материал, тексты заданий;
- ПК и медиаоборудование;
.
Задание студентам на самоподготовку (учебная и справочная литература):
Богомолов Н.В.Сборник дидактических заданий, Задание 57, с. 166-168
Хронологическая структура заданий практического занятия
Время (мин) | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 | 65 | 70 | 75 | 80 | 85 | 90 |
Структурные элементы | 1 | 2 | 2 | 2 | 3 | 3 | 3 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 4 | 5 | 5 |
ДИДАКТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ
Структурные элементы | Деятельность преподавателя | Деятельность студентов |
1. Целевая установка. | 1. Сообщение плана учебного занятия. 2. Ознакомление с требованиями к знаниям и умениям по теме. | 1. Подготовка рабочего места 2. Запись темы урока. |
2. Проверка теоретической готовности студентов к выполнению заданий практического занятия | Проверка домашнего задания: 1) проверка выполнения решения задач №№…. (в рабочих тетрадях) 2) организация фронтального опроса 3) организация индивидуального опроса (у доски) – решение типовой задачи с объяснением алгоритма действий | Демонстрируют выполнение домашнего письменного задания Отвечают на вопросы Решают задачу. Объясняют алгоритм решения |
3. Инструктаж о содержании, этапах работы, способах (методах) действий. | 1) Сообщение содержания и последовательности выполнения практических заданий 2) Представление комплектов материалов, необходимых для выполнения заданий (учебник, компьютерная презентация, раздаточный материал) 3) Обучение практическим приемам: Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики на примере решения типовой задачи | 1) Подготовка к выполнению практических заданий 2) Ознакомление с комплектом учебных материалов 3) Усвоение правил работы: Решение практических задач с использованием понятий и правил комбинаторики |
4. Организация выполнения заданий практического занятия | 1) Организация выполнения студентами практических заданий: Задания: решение задач с использованием понятий и правил комбинаторики 2) Организация работы над основными математическими понятиями: Основные понятия комбинаторики: перестановки, размещения, сочетания; основные правил комбинаторики. | Самостоятельная работа студентов по выполнению заданий |
5. Оценка выполненной работы | 1) Проверка правильности выполнения заданий 2) Оценка результатов выполнения заданий | Ответы на поставленные вопросы, пояснения полученных результатов. |
Основные понятия
|
|
Элементы комбинаторики
Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же n различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения. Количество всех возможных перестановок выражается формулой Pn= n!
Задача 1
Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?
Решение: используем формулу количества перестановок:
Ответ: 120 способами
Задача 2
Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?
Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны! ), и это очень важная предпосылка для применения формулы Pn= n!
Решение: найдём количество всех возможных перестановок 4-х карточек:
Сочетаниями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. .
Задача 3
В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?
Решение:
Ответ: 1365 способами
Задача 4. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?
Решение:
Ответ: 7140
Размещения
Размещениями называют различные комбинации из m объектов, которые выбраны из множества n различных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле
Задача 5
Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по
В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?
Решение: способами.
Другой вариант решения: способами можно выбрать 2-х человек из группы и способами распределить должности в каждой выборке. Таким образом, старосту и его заместителя можно выбрать способами.
Ответ: 506
Правило сложения и правило умножения комбинаций:
1) Знак «сложения» следует понимать и читать как союз ИЛИ.
Задача 6
Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?
Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний , поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары.
Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:
способами можно выбрать 2-х юношей;
способами можно выбрать 2-х девушек.
Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать: способами.
Ответ: 123
Правило умножения комбинаций:
|
|
2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.
Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?
способами можно выбрать 1 юношу;
способами можно выбрать 1 девушку.
Таким образом, 1-го юношу и 1 девушку можно выбрать: способами.
Когда из каждого множества выбирается по 1-му объекту, то справедлив следующий принцип подсчёта комбинаций: «каждый объект из одного множества может составить пару с каждым объектом другого множества».
То есть, Олег может пригласить на танец любую из 13-ти девушек, Евгений – тоже любую из 13-ти девушек, и аналогичный выбор есть у остальных молодых людей. Итого: возможных пар.
Следует отметить, что в данном примере не имеет значения упорядоченность пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13-ти девушек тоже может пригласить на танец любого из 10-ти юношей. Всё зависит от условия той или иной задачи!
Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать 2-х юношей и 2-х девушек для участия в сценке КВН?
Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:
возможных групп артистов.
Задача 7
Сколько существует трёхзначных чисел, которые делятся на 5?
Решение: для наглядности обозначим данное число тремя звёздочками: ***
Комбинации будем считать по разрядам – слева направо:
В разряд сотен можно записать любую из цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 или 9). Ноль не годится, так как в этом случае число перестаёт быть трёхзначным.
А вот в разряд десятков («посерединке») можно выбрать любую из 10-ти цифр: .
По условию, число должно делиться на 5. Число делится на 5, если оно заканчивается на 5 либо на 0. Таким образом, в младшем разряде нас устраивают 2 цифры.
Итого, существует: трёхзначных чисел, которые делятся на 5.
При этом произведение расшифровывается так: «9 способами можно выбрать цифру в разряд сотен и 10 способами выбрать цифру в разряд десятков и 2 способами в разряд единиц»
|
|
Или ещё проще: «каждая из 9-ти цифр в разряде сотен комбинируется с каждой из 10-ти цифр разряда десятков и с каждой из двух цифр в разряде единиц».
Ответ: 180
Практические задания:
Вариант 1
Пример 1. Пусть даны шесть цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Пример 2. Студенты института изучают в каждом семестре по десять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?
Пример 3. В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
Пример 4. В соревнованиях участвовало четыре команды. Сколько вариантов распределение мест между ними возможно?
Пример 5. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 78 человек?
Вариант 2
Пример 1. Пусть даны шесть цифр: 1; 3; 8; 4; 5. Определить сколько трехзначных чисел можно составить из этих цифр.
Пример 2. Студенты института изучают в каждом семестре по девять дисциплин. В расписание занятий включаются каждый день по 3 дисциплины. Сколько различных расписаний может составить диспетчерская?
Пример 3. В группе из 28 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?
Пример 4. В соревнованиях участвовало пять команд. Сколько вариантов распределение мест между ними возможно?
Пример 5. Сколькими способами можно выбрать двух человек в президиум, если на собрании присутствует 87 человек?