Геометрия пространства или закон обратных квадратов

«на пальцах»

Эти две декартовых сущности отличаются свойством протяженности в пространстве: для материи это свойство является существенным, для сознания – нет. Под пространством понимается трехмерное декартово пространство, определяемое тремя (пространственными) координатами. Важно, таким образом, что представляет собой пространство, в котором разворачиваются процессы материальной природы, изучаемые физикой. Рассмотрим один сравнительно простой случай, пользуясь для его анализа минимальным набором инструментов, к каковым отнесем органы чувств (зрение) и способность логически рассуждать, пользуясь минимальными знаниями школьного курса физики.

Для этого проведем мысленный или натурный эксперимент. В качестве объекта расположим перед собой кисти рук на разном расстоянии от глаз. Нетрудно согласиться с утверждением о том, что ближайшая к глазам кисть руки кажется нам больше. Так как мы знаем, что кисти у нас одинаковые, в чем мы можем убедиться, совмещая ладони рук, небезынтересно проанализировать причину этого факта. Она лежит в области оптических явлений и касается т.н. геометрической оптики. Из школьного курса физики известно, что при определенных условиях (здесь выполняемых) величина изображения предмета обратно пропорциональна его расстоянию от наблюдателя. В данном случае расстояние отсчитывается от хрусталика глаза, представляющего собой с точки зрения оптики двояковыпуклую линзу.

Ход световых лучей показан на рис. 1.3.

В        D

А         С                F       O    F¹A¹ D¹

                     R₁                 B²         B¹

                 R₂                  D²                C¹

              Рис. 1.3. Рисунок, иллюстрирующий обратную пропорциональность размера изображения расстоянию до объекта

  Дано: два одинаковой высоты R предмета AB и CD расположены на разном расстоянии R₂ и R₁ от линзы (выпуклой) c оптическим центром O.

Требуется доказать: Размеры их изображенийA¹B¹=ОB² и C¹D¹=OD² обратно пропорциональны расстояниям AF (R₂) и CF (R₁) исходных предметов до линзы (до фокуса линзы F).

Доказательство: запишем тангенс <AFB=R/R₂ =A¹B¹/F и

Тангенс <AFD=R/R₁=C¹D¹/F.

Выражая теперь F из обоих равенств и приравнивая полученные выражения, получим F=A¹B¹*R₂/R=C¹D¹*R₁/R, откуда A¹B¹/C¹D¹=R₁/R₂, то есть величины изображений обратно пропорциональны расстояниям предметов до линзы.

Если мы имеем дело с двухмерным предметом, то его площадь (и сила воздействия на глаз – психологический термин) обратно пропорциональна квадрату расстояния до линзы.

Поскольку правила построения изображения в линзе основаны на Евклидовой геометрии, то получаем, что для этой геометрии закон обратных квадратов является «свойством пространства».

Анализ рис. 1.3 подтверждает известный факт, упомянутый выше, о том, что величина изображения объекта обратно пропорциональна его расстоянию от линзы. Поскольку наш объект двумерный, т.е. мы воспринимаем его площадь, то можем, исходя из тех же рассуждений, сказать, что площадь изображения объекта обратно пропорциональна квадрату расстояния от линзы. В самом деле, площадь равна произведению ширины объекта на его высоту, причем каждый из сомножителей по величине обратно пропорционален расстоянию. Получаем «на пальцах» популярный в физике закон обратных квадратов, гласящий, что сила взаимодействия между телами обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Какие же тела взаимодействуют в нашем случае? Это (освещенная) ладонь и глаз наблюдателя. Поскольку информацию мы получаем от глаза, имеет смысл оценить воздействие объекта на глаз наблюдателя. Как мы только что установили, сила такого воздействия обратно пропорциональна квадрату расстояния. Напрашивается аналогия с фотометрическим законом, по которому освещенность экрана обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света. Фотометрический закон был известен еще Кеплеру. А Ньютон, живший позднее, наверняка был в курсе этого открытия. Известно, что ранние труды гения механики были посвящены оптике. Закон всемирного тяготения, которым мы успешно пользуемся до сих пор, был сформулирован не без влияния трудов Кеплера, в том числе и его оптических трудов. Открытый значительно позже закон Кулона, описывающий взаимодействие точечных электрических зарядов, тоже дает выражение для силы взаимодействия через квадрат расстояния между взаимодействующими объектами (зарядами). Что же общего между этими физическими законами, установленными в различных областях нашей науки?

Можно надеяться, что одинаковая математическая форма названных соотношений имеет глубокую физическую природу. И эта природа связана со свойствами самого пространства, в котором и разворачиваются описанные взаимодействия. И эти свойства породили соответствующее математическое описание. Как, по-видимому, догадался читатель, речь идет о евклидовом пространстве, о котором его автор, великий греческий математик говорил: все, что видно, видно по прямой. Перечисленные физические законы имеют место в пространстве, в котором свет распространяется прямолинейно. Эти законы и образуют каркас классической физики.

Закон обратных квадратов, если говорить о его математической стороне, может иметь особенности в области малых расстояний, где сила взаимодействия быстро растет. Такие условия реализуются при взаимодействии света с веществом, в котором характеристические расстояния сравнимы с длиной световой волны (или меньше ее). Можно ожидать, что вблизи вещества или внутри него свет имеет другие законы распространения, а, следовательно, там существует другое пространство, в котором реализуются и другие взаимодействия. В дальнейшем мы увидим, что это интуитивное ожидание оправдывается в физике микромира, проявляющейся в атомных и ядерных процессах, и в тесно связанной с ней физике мегамира, к услугам которой вся вселенная.