Выдержки из «Начал» Евклида и комментарии

 

В книге Евклида "Начала" математика выступала, пишет М. Клайн, "...как идеальная версия того, что составляло содержание известного нам реального мира...". Каждая книга "Начал" начинается с определений. В первой книге "Начал" приведены постулаты и аксиомы, за ними расположены в строгом порядке теоремы и задачи на построение (так, что доказательство или решение чего-либо последующего опирается на предыдущие). Там же введены 23 предварительных определения объектов геометрии: например, "точка есть то, что не имеет частей"; "линия - длина без ширины"; "прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению к точкам на ней". Были введены определения угла, плоскости, квадрата, круга, сферы, призмы, пирамиды, пяти правильных многогранников и др.

За определениями следовали 5 известных постулатов (требований) Евклида к построению фигур в геометрии: 1) От всякой точки до всякой другой точки возможно провести только одну прямую линию; 2) Ограниченную прямую линию возможно непрерывно продолжать по прямой; 3) Из всякого центра и всяким раствором возможно описать круг; 4) Все прямые углы равны между собой; 5) Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно встречаются с той стороны, где углы меньше двух прямых. Пятый постулат имеет столь важное значение, что он получил специальное наименование "пятый постулат Евклида о параллельных"[13].

Такие утверждения Евклида, как "прямая - кратчайшее расстояние между двумя точками", "через любые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только одну" и постулат о параллельных были названы Кантом "априорными синтетическими суждениями" (см. Априорные синтетические суждения), являющимися частью "оснащения" нашего разума. По Г.С. Клюгелю (1763), восприятие аксиом Евклида (и в большей степени аксиомы о параллельных) как чего-то достоверного основано на человеческом опыте, ибо аксиомы опираются не столько на очевидность, сколько на опыт. А для Канта вообще был немыслим иной способ организации опыта, чем геометрия Евклида и механика Ньютона. Таким образом, со времен "Начал" Евклида и фактически до конца 19 в. законы окружающего нас физического пространства макромира были, как полагал М. Клайн, "... всего лишь теоремами геометрии Евклида и ничем больше...".

А поскольку аксиома о параллельных полностью независима от остальных, то возможно заменить ее противоположной аксиомой и выводить следствия из вновь сконструированной аксиоматической системы. Это привело к созданию неевклидовых геометрий, в которых аксиома о параллельных непротиворечиво заменяется на другую аксиому, адекватную свойствам пространства, над которым строится данная неевклидова геометрия.

Хотя сочинение Евклида предназначалось для изучения физического пространства, структура самого сочинения, его остроумие и ясность изложения стимулировали аксиоматически-дедуктивный подход не только к остальным областям математики, но и ко всем естественным наукам. Через "Начала" Евклида понятие логической структуры всего физического знания, основанного на математике, стало достоянием интеллектуального мира[14].

Классическая физика имеет дело с евклидовым пространством, пространством предметов, соизмеримых с размерами человеческого тела, в котором наши органы чувств позволяют нам обходиться без усиливающих их приборов. Это пространство трехмерно, иногда двумерно. Символом его может считаться, например, число . Это число было известно древним грекам. Вот пример геометрической задачи на определение числа , предлагавшийся в Академии Платона.

Рассмотрим круг с центром O, наложенный на многоугольник ABEFCD. Треугольник BEO прямоугольный равнобедренный, а треугольник FOC прямоугольный с углом OFC 60, а FCO 30 градусов. Считая, что площадь наложенного круга с центром O равна площади прямоугольника ABCD, требуется найти число . Решение этой задачи, с которой справляются старшие школьники, я предоставляю выполнить читателям. Ответ таков: .

К своему удивлению, я обнаружил, что с этой задачей незнакомы не только школьные учителя математики, но и преподаватели вузов. А задача эта примечательна тем, что в ней используются «треугольники Платона», под которыми Платон понимал прямоугольные треугольники с углами в 45, а также с углами в 60 и 30 градусов при гипотенузе. Платон считал, что на таких треугольниках держится мир.

Что дало основание Платону для такого утверждения, и почему в основу мира он клал геометрическую фигуру, а не число, как это делал, например Пифагор, которого Платон почитал? Связано это, по-видимому, с тем, что древнегреческие математики столкнулись с иррациональными числами, существование которых было неразрывно связано с треугольниками. Благодаря этому обстоятельству серьезно пошатнулась магия (натуральных) чисел, господствовавшая среди древних математиков. Да и только ли среди древних?

                                              

                                          E 

                                     F  O

 

              B               OGG     C

                                          O

                      A                                            D

                                              

Рис. 1.4. Задача Платона для вычисления числа  

 

Не желая иметь дело с таким объектом как иррациональное число, например , древние стали использовать треугольники - более гармоничный объект. Однако, как мы увидим в дальнейшем, магия натуральных чисел снова вернулась в физику, когда сделали первые попытки объяснить оптические спектры химических элементов. Поскольку спектральный анализ оказался важен не только для объяснения микромира, мира атомов и молекул, но и мегамира – мира галактик. А углы между химическими связями в органических веществах и даже в молекуле воды, равно как и углы и плоскости в кристаллографии - разве это не отзвук треугольников Платона? Мы видим, таким образом, что магия чисел и треугольников не канула в Лету и оказалась достойной внимания современной науки. Поэтому не хотелось бы с порога отмахиваться от простых, кажущихся порой наивными представлений древних об устройстве природы, мира. Ведь в них - поиски единого в природе, поиски ее первоначала, от которого современная физика в некоторых своих разделах далеко ушла, но мечтает вернуться.

Роль математики

Говоря о геометрии физического пространства, мы начали разговор о физике с математики. О чем это свидетельствует? Ведь физика во всех своих частях тесно переплетена с математикой, которую использует, по выражению Р. Фейнмана в качестве аппарата теоретического исследования и языка для своих рассуждений. Но дело не только в этом. Математика живет и своей самостоятельной жизнью, насколько могут быть самостоятельными отдельные науки, вносящие свой вклад в культуру общества и питающиеся его материальными и духовными ценностями.

Вопрос еще и в другом: какова природа математики и что это за наука - естественная или гуманитарная. Дело в том, что когда математика с высокой точностью предсказывает физические явления, это кажется подчас чудом. Так, например, Э. Шрёдингер говорил о «господней квантовой механике», которая стала таковой в результате удачно подобранного математического аппарата, адекватно описывающего то, что происходит на самом деле.

А что означает «происходить на самом деле»? Явно и по умолчанию под этим понимается в естественных науках то, что регистрируется нашими органами чувств. Даже явления микромира, не воспринимаемые невооруженным глазом, могут стать видимыми с помощью приборов. А что является критерием истинности математики? По-видимому, соответствие (иногда, впрочем, очень широко понимаемое) признанным ранее результатам и интуитивное чувство истинности.

Was fruchtbar ist,

Allein ist wahr.

    «Лишь плодотворное верно», - писал великий Гете. А т.н. чувство истинности – откуда оно и где «проживает»? Его не найдешь в декартовом пространстве координат, хотя, казалось бы, Декарт причастен как к философии, так и к математике. Так, где же «живут» математические истины, которые вовсе не обязаны быть связанными с материей. Это уже не res extensa (вещи протяженные), а res cogitans (вещи мыслящие), согласно Декарту. Впрочем, математика здесь – не исключение. В физике истинность рассуждений существует тоже не в пространстве координат. Так зачем же физике нужна чужая епархия? Уж не сводит ли она счеты с математикой, кто главнее?

Думается, что основной вопрос не в этом. Современная физика стала дорогой наукой. На ее основе выпускается самая, быть может, наукоемкая продукция – измерительная техника, компьютеры, от которых зависит будущее мировой цивилизации. Для физических исследований строятся дорогостоящие ускорители заряженных частиц, цена которых соизмерима с годовым бюджетом некоторых стран. Поэтому очень хочется знать, туда ли идем? И применить к этим оценкам количественные методы.

Послушаем И. Канта: «С самых ранних времен, до которых простирается история человеческого разума, математика пошла верным путем науки у достойных удивления древних греков", "...но что касается свойственного философии способа познания из понятий в сравнении со свойственным математике способом судить a priori на основании одного лишь конструирования понятий, то обнаруживается такая глубокая разнородность философского и математического познания, которая, правда, всегда как бы чувствовалась, но никогда не была сведена к отчетливым критериям» [15].

Впрочем, о взаимоотношении физики с философией, математикой и с другими науками у нас еще будет возможность поговорить. А сейчас вернемся непосредственно к физике.