Управление финансами требует постоянного осуществления различного рода финансово-экономических расчетов, связанных с потоками денежных средств в разные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах играет оценка стоимости денег во времени.
Концепция стоимости денег во времени состоит в том, что стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли на финансовом рынке, в качестве которой обычно выступает норма ссудного процента (или процента). Иными словами, стоимость денег в настоящее время всегда выше, чем в любом будущем периоде. Это предопределяет необходимость учета фактора времени при осуществлении долгосрочных финансовых операций путем оценки и сравнения стоимости денег при начале финансирования со стоимостью денег при их возврате.
Для оценки стоимости денег с учетом фактора времени требуется знать связанные с ней базовые понятия, к основным из которых относятся:
· Процент — сумма дохода от предоставления капитала в долг или плата за пользование ссудным капиталом во всех его формах.
· Простой процент — сумма дохода, начисляемого к основной сумме капитала в каждом интервале, по которой дальнейшие расчеты платежей не осуществляются. Применяется, как правило, при краткосрочных финансовых операциях.
· Сложный процент — сумма дохода, начисляемого в каждом интервале, которая не выплачивается, а присоединяется к основной сумме капитала и в последующем платежном периоде сама приносит доход.
· Процентная ставка (ставка процента) — характеризует соотношение суммы процента и суммы предоставленного (заимствованного) капитала.
· Будущая стоимость денег — сумма инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенный период времени с учетом ставки процента.
· Настоящая стоимость денег — сумма будущих денежных средств, приведенных с учетом определенной процентной ставки к настоящему периоду времени.
· Наращение стоимости — приведение настоящей стоимости денег к их будущей стоимости в определенном периоде путем присоединения к их первоначальной сумме начисленной суммы процентов.
· Дисконтирование стоимости — приведение будущей стоимости денег к их настоящей стоимости путем изъятия из их будущей суммы соответствующей суммы процентов («дисконта»).
· Период начисления — общий период времени, в течение которого осуществляется процесс наращения или дисконтирования стоимости денежных средств.
· Предварительный метод начисления процента — способ расчета, при котором начисление процента осуществляется в начале каждого интервала.
· Последующий метод начисления процента — способ расчета платежей, при котором начисление процента осуществляется в конце каждого интервала.
· Дискретный денежный поток — поток платежей на вложенный капитал, имеющий четко ограниченный период начисления процентов и конечный срок возврата основной суммы.
· Непрерывный денежный поток — поток платежей на вложенный капитал, период начисления процентов по которому не ограничен, а соответственно не определен и конечный срок возврата основной его суммы.
· Аннуитет (финансовая рента) — поток платежей, характеризующийся одинаковым уровнем процентных ставок на протяжении всего периода.
Среди изложенных базовых понятий, наиболее сложным является понятие процентной ставки:
По обеспечению начисления определенной годовой суммы процента различают периодическую и эффективную процентные ставки.
Периодическая ставка процента при обеспечении определенной годовой суммы процента может варьировать как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов платежей.
Эффективная ставка процента характеризует ее среднегодовой уровень, определяемый отношением годовой суммы процента, начисленного по периодическим его ставкам, к основной сумме капитала.
Система основных базовых понятий позволяет рассмотреть методический инструментарий оценки стоимости денег во времени в разрезе наиболее характерных вариантов осуществления такой оценки:
I. Методический инструментарий оценки стоимости денег по простым процентам.
1. При расчете суммы простого процента в процессе наращения стоимости (компаундинга) используется следующая формула:
где — сумма процента за обусловленный период времени в целом;
— первоначальная сумма (стоимость) денежных средств;
— количество интервалов расчета процентных платежей, в общем, периоде времени;
— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.
Множитель называется множителем (или коэффициентом) наращения суммы простых процентов. Его значение всегда должно быть больше единицы.
2. При расчете суммы простого процента в процессе дисконтирования стоимости (т.е. суммы дисконта) используется следующая формула:
где — сумма дисконта (рассчитанная по простым процентам) за период времени в целом;
— стоимость денежных средств;
— количество интервалов, по которым осуществляется расчет процентных платежей, в общем периоде времени;
— используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью.
В этом случае настоящая стоимость денежных средств (Р) с учетом рассчитанной суммы дисконта определяется по следующей формуле:
Используемый в обоих случаях множитель называется дисконтным множителем (коэффициентом) суммы простых процентов, значение которого всегда должно быть меньше единицы.
II. Методический инструментарий оценки стоимости денег по сложным процентам использует более обширную и более усложненную систему расчетных алгоритмов.
1. При расчете будущей суммы вклада (стоимости денежных средств) в процессе его наращения по сложным процентам используется следующая формула:
где — будущая стоимость вклада (денежных средств) при его наращении по сложным процентам;
— первоначальная сумма вклада;
— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Соответственно сумма процента в этом случае определяется по формуле:
2. При расчете настоящей стоимости денежных средств в процессе дисконтирования по сложным процентам используется следующая формула:
где — первоначальная сумма вклада;
— будущая стоимость вклада при его наращении, обусловленная условиями инвестирования;
— используемая дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью;
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.
Соответственно сумма дисконта в этом случае определяется по формуле
3. При определении средней процентной ставки, используемой в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, применяется следующая формула:
где — средняя процентная ставка, используемая в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;
— будущая стоимость денежных средств;
— настоящая стоимость денежных средств;
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж, в общем обусловленном периоде времени.
4. Длительность общего периода платежей, выраженная количеством его интервалов в расчетах стоимости денежных средств по сложным процентам определяется путем логарифмирования по следующей формуле:
где — будущая стоимость денежных средств;
— настоящая стоимость денежных средств
— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью.
5. Определение эффективной процентной ставки в процессе наращения стоимости денежных средств по сложным процентам осуществляется по формуле:
где — эффективная среднегодовая процентная ставка при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;
— периодическая процентная ставка, используемая при наращении стоимости денежных средств по сложным процентам, выраженная десятичной дробью;
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый процентный платеж по периодической процентной ставке на протяжении года.
При оценке стоимости денег во времени по сложным процентам необходимо иметь в виду, что на результат оценки оказывает большое влияние не только используемая ставка процента, но и число интервалов выплат в течение одного и того же общего платежного периода.
Используемые в процессе оценки стоимости денег множители называются соответственно множителем наращения и множителем дисконтирования суммы сложных процентов:
и
III. Методический инструментарий оценки стоимости денег при аннуитете.
1. При расчете будущей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо) используется следующая формула:
где — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо);
— член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
2. При расчете будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:
где — будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо),
— член аннуитета характеризующий размер отдельного платежа,
— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью,
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
3. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо), используется следующая формула:
где — настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях предварительных платежей (пренумерандо)
— член аннуитета характеризующий размер отдельного платежа,
— используемая процентная дисконтная ставка, выраженная десятичной дробью,
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем обусловленном периоде времени.
4. При расчете настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), применяется следующая формула:
где — стоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо);
— член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа
— используемая процентная (дисконтная) ставка, выраженная десятичной дробью;
— количество интервалов, по которым осуществляется каждый платеж, в общем условленном периоде времени.
5. При расчете размера отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используется следующая формула:
где — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной будущей его стоимости);
— будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
— количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.
6. При расчете размера отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используется такая формула:
где — размер отдельного платежа по аннуитету (член аннуитета при предопределенной текущей его стоимости);
— будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
— используемая процентная ставка, выраженная десятичной дробью;
— количество интервалов, по которым намечается осуществлять каждый платеж, в обусловленном периоде времени.
В процессе расчета аннуитета возможно использование упрощенных формул, основу которых составляет только член аннуитета (размер отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.
В этом случае формула для определения будущей стоимости аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей), имеет вид:
где - будущая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
- член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
- множитель наращения стоимости аннуитета, определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной ставки и количества интервалов в периоде платежей.
Соответственно, формула для определения настоящей стоимости аннуитета имеет вид:
где — настоящая стоимость аннуитета (осуществляемого на условиях последующих платежей);
— член аннуитета, характеризующий размер отдельного платежа;
— дисконтный множитель аннуитета определяемый по специальным таблицам, с учетом принятой процентной (дисконтной) ставки и количества интервалов в периоде платежей.