Рассмотрим функцию , которая непрерывна на отрезке [ a,b ]. Выполним следующие операции:
1. Отрезок [ a,b ] разобьём точками на n произвольных частей и обозначим длины отрезков
2. Внутри каждого отрезка возьмём произвольную точку Сi и вычислим в ней значение функции Составим сумму произведений значений функции на
(5)
называемую интегральной суммой для функции на отрезке [ a,b ].
3. Обозначим длину наибольшего из отрезков разбиений , т.е., В равенстве (5) перейдём к пределу при :
(6)
Определение. Если существует конечный предел при интегральной суммы, составленной для функции на отрезке [ a,b ], не зависящий ни от способа разбиения [ a,b ] на части, ни от выбора произвольной точки Сi внутри каждого частичного отрезка разбиения, то этот предел называется определённым интегралом от функции на отрезке [ a,b ]. Обозначение определённого интеграла:
(7)
При этом а называется нижним пределом, а b верхним пределом интегрирования.
|
|
Если функция непрерывна и неотрицательна на отрезке [ a,b ], то определённый интеграл от функции на этом отрезке имеет геометрический смысл. Приведём геометрическую интерпретацию определённого интеграла.
Определение. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная сверху графиком функции , снизу отрезком [ a,b ] оси ОХ и двумя прямыми х=а и х=b, параллельными оси ОY.
Можно показать, что площадь криволинейной трапеции с основанием [ a,b ] и ограниченной сверху графиком функции , непрерывной и неотрицательной на отрезке [ a,b ], равна определённому интегралу от функции на этом отрезке, т.е.:
Теорема (существования определённого интеграла). Если функция непрерывна на отрезке [ a,b ], то существует определённый интеграл от этой функции на отрезке [ a,b ].