Исследование функций. Задание 31-40

Исследовать методами дифференциального исчисления функцию y = f (x) и построить ее график.

Функция y = f (x) называется четной, если выполняется условие f (- x)= f (x). График четной функции симметричен относительно оси ординат. Функция y = f (x) называется нечетной, если f (- x)=- f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Если указанные соотношения не выполняются, то функция не является ни четной, ни нечетной. Ее график не имеет ни оси, ни центра симметрии.

Функция y = f (x) называется возрастающей в интервале (a, b), если для любых двух точек x ₁ и х ₂ из этого интервала, удовлетворяющих неравенству х₂ > x₁ выполняется неравенство f (x ₂) > f (x ₁).

Функция y = f (x) называется убывающей в интервале (a, b), если для любых двух точек x ₁ и х ₂ из этого интервала, удовлетворяющих неравенству x ₂ > x ₁, выполняется неравенство f (x ₂) < f (x ₁).

Признаки возрастания и убывания функции:

1) если во всех точках интервала (a, b), то функция y = f (x) возрастает в этом интервале;

2) если во всех точках интервала (a, b), то функция y = f (x) убывает в этом интервале.

Функция называется монотонной на интервале (a, b), если она на данном интервале или возрастающая, или убывающая, или постоянна.

Точка называется точкой максимума функции y = f (x), если значение является наибольшим в некоторой окрестности этой точки.

Точка называется точкой минимума функции y = f (x), если значение является наименьшим в некоторой окрестности этой точки (рис.1).

Точки минимума и максимума называются точками экстремума.

Рис. 1

Необходимые условия экстремума. Если функция y = f (x) в точке имеет экстремум, то производная обращается в нуль или не существует. Точки, в которых равна нулю или не существует, называются критическими точками первого рода. Не всякая критическая точка первого рода является точкой экстремума.

Первое достаточное условие экстремума. Если при переходе (слева направо) через критическую точку производная меняет знак с (+) на (-), то точка является точкой максимума; если меняет знак с (-) на (+), то это точка минимума; если производная знака не меняет, то экстремума нет.

Второе достаточное условие экстремума. Пусть , а . Тогда, если , то х₀ – точка минимума; если , х₀ – точка максимума.

Выпуклость. Вогнутость. Точки перегиба. График функции называется выпуклым в интервале (a, b), если он расположен ниже касательной, проведенной к кривой f (x) в любой точке этого интервала (рис. 2). График функции называется вогнутым в интервале (a, b), если он расположен выше касательной, проведенной к кривой f (x) в любой точке этого интервала (рис. 3). Точкой перегиба называется точка графика М (x ₀, y ₀), отделяющая его вогнутую часть от выпуклой, или наоборот (рис. 4).


Рис. 2	Рис. 3	Рис. 4

Если в некотором интервале, то график функции является вогнутым (выпуклым) в этом интервале.

Точки, в которых или не существует, называются критическими точками второго рода.

Если при переходе через критическую точку второго рода х ₀ производная меняет свой знак, то точка х ₀ является абсциссой точки перегиба графика функции. Если не меняет своего знака, то х ₀ не является точкой перегиба.

Для исследования функции и построения ее графика необходимо:

1) найти область определения функции;

2) исследовать функцию на четность, нечетность;

3) найти точки пересечения графика функции с координатными осями, если это не вызывает больших затруднений;

4) определить интервалы убывания, возрастания функции и точки экстремума;

5) определить интервалы выпуклости или вогнутости графика функции и точки перегиба;

6) для построения графика необходимо нанести на его эскиз точки экстремума, точки перегиба, точки пересечения, с координатными осями; характерные точки соединить непрерывной линией.

Решение: Исследуем функцию по указанной схеме.

1. Область определения функции.

Данная функция – многочлен третьего порядка, определен на всей числовой оси , непрерывен в любой точке числовой оси.

2. Четность, нечетность функции.

, следовательно, функция не является четной.

, следовательно, функция не является нечетной.

Функция не является ни четной, ни нечетной; это функция общего вида. График функции не имеет ни оси, ни центра симметрии.

3. Точки пересечения графика функции с координатными осями.

1) С осью OY:

График функции проходит через начало координат О (0;0).

2) С осью OХ:

Имеем две точки пересечения с осью OХ: О (0;0) и А (3;0).

4. Интервалы убывания, возрастания функции и точки экстремума.

Найдем производную и решим уравнение , тем самым найдем точки, критические первого рода.

Следовательно, х =1 и х =3 – критические точки.

Нанесем критические точки на числовую ось и определим интервалы убывания и возрастания функции.

Производная сохраняет знак в каждом из интервалов , , , т.е. каждый из них является областью монотонности функции. Возьмем в каждом интервале пробную точку и найдем знак .