Пусть u и v – две дифференцируемые функции. Тогда имеет место формула – формула интегрирования по частям.
Этой формулой пользуются тогда, когда невозможно свести к табличному с помощью подстановки.
Приведем основные типы интегралов, когда применяется метод интегрирования по частям:
1) ; – многочлен; в этом случае u = p (x), dv = exdx;
2) ;
;
3) ;
4) ; соответственно за функцию u берем ; и т.д.
Примеры:
.
.
Рассмотрим некоторые способы интегрирования наиболее часто встречающихся функций.
Интегрирование выражений, в знаменателе которых стоит квадратный трехчлен.
В квадратном трехчлене выделим полный квадрат и сделаем подстановку.
Примеры: Найти интегралы:
.
.
Интегрирование некоторых видов тригонометрических функций.
а) , где m, n – положительные четные числа, вычисляются с помощью формул понижения порядка
Пример.
б) , где m, n – целые числа, хотя бы одно из которых нечетное, вычисляются отделением от нечетной степени одного множителя в первой степени и соответствующей подстановкой.
|
|
Примеры:
.
Интегрирование простейших видов иррациональных функций.
В этих интегралах вводят новую переменную так, чтобы получить рациональную функцию.
Примеры:
Вопросы для самоконтроля.
1. Дайте определение первообразной.
2. Дайте определение неопределенного интеграла.
3. Как обозначается неопределенный интеграл?
4. Перечислите свойства неопределенного интеграла.
5. В чем заключается суть метода подстановки?
6. Расскажите о методе интегрирования по частям.
7. Расскажите об интегрировании тригонометрических функций.
Литература: [7] стр. 226-256, [10] стр. 335-370, [12] стр. 257-294.
Примеры: [3] стр. 208-242, [6] стр.149-164.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ
1. Функция и способы ее задания. Область определения функции. Основные элементарные функции и их графики. Элементарные функции.
2. Понятие предела функции. Свойства конечных пределов.
3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции, их свойства.
4. Понятие о неопределенных выражениях. Методы раскрытия неопределенностей. Первый и второй замечательные пределы.
5. Непрерывность функции в точке. Понятие о точках разрыва. Классификация точек разрыва.
6. Определение производной функции y = f(x), ее механический и геометрический смысл. Уравнения касательной и нормальной прямой к графику функции.
7. Свойства производной. Основные правила нахождения производных.
8. Таблица производных основных элементарных функций.
9. Производные высших порядков.
10. Дифференциал функции. Геометрический смысл.
11. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.
|
|
12. Признаки возрастания и убывания функций в интервале.
13. Экстремум функции. Необходимые и достаточные условия экстремума функции y = f(x).
14. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции.
15. Понятие асимптоты функции. Асимптоты вертикальные, горизонтальные и наклонные.
16. Общая схема исследования функции и построения ее графика.
17. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции y = f(x) на отрезке [ a, b ].
18. Определение первообразной функции, её свойства. Теорема существования первообразной.
19. Определение неопределенного интеграла, его геометрическая интерпретация. Теорема существования неопределенного интеграла, основные свойства неопределенного интеграла.
20. Методы интегрирования неопределенного интеграла: непосредственное интегрирование, интегрирование подстановкой, метод интегрирования по частям.
21. Интегрирование тригонометрических функций.
22. Интегрирование простейших иррациональных функций.
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ И РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Основная литература:
1. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. I: Учеб. пособие для втузов./П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – Москва: ОНИКС: Мир и Образование, 2009 – 368с.
2. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 –х ч. Ч. II: Учеб. пособие для втузов./ П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова – Москва: ОНИКС: Мир и Образование, 2009 – 448с.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии: Уч. пособие для втузов./ Д.В.Клетеник – СПб., Изд-во «Профессия», 2007. – 199 стр., ил.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс.–4-е изд./ Д.Т. Письменный –М.: Айрис-пресс, 2011.–608 с. – (Высшее образование).
Дополнительная литература:
5. Кремер Н.Ш. Практикум по высшей математике для экономистов. Учебник./ Н.Ш.Кремер – М.: Юнити, 2004.
6. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов. Учебник. / Н.Ш.Кремер, Б.А. Путко, И.М.Тришин, М.Н.Фридман – М.: Юнити, 2004.
7. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. Учеб. пособие для вузов. / В.П.Минорский – М.: Наука, 1997. – 285 с.
8. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах, том 1, изд. «Наука», М.,1985 г., 456 стр. с илл.
9. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов. В 2-х томах, том 2, изд. «Наука», М.,1985 г., 456 стр. с илл.
Тамара Григорьевна Ершова, Ирина Александровна Драчева
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
1 часть
Практикум
по самостоятельной работе и выполнению контрольных работ
для студентов направления подготовки 38.03.01 «Экономика»
заочной формы обучения
Тираж ___экз. Подписано к печати __________ Заказ № ____ Объем 0,8 п.л.
Изд-во «Керченский государственный морской технологический университет»
298309, Керчь, ул. Орджоникидзе, 82