Методические рекомендации по выполнению
Лабораторных работ по математике.
Чебоксары 2019
Лабораторная работа № 1
Предмет «Математика»
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Время работы-2 часа
2. Цель работы: развитие умений и навыков по выполнению действий над матрицами, составлению систем уравнений и их решении
3. Теоретические сведения: Метод Гаусса включает в себя прямой (приведение расширенной матрицы к ступенчатому виду, то есть получение нулей под главной диагональю) и обратный (получение нулей над главной диагональю расширенной матрицы) ходы. Прямой ход и называется методом Гаусса, обратный - методом Гаусса-Жордана, который отличается от первого только последовательностью исключения переменных. Метод Гаусса идеально подходит для решения систем содержащих 3 и более трех линейных уравнений, для решения систем уравнений, которые не являются квадратными (чего не скажешь про метод Крамера и матричный метод). То есть метод Гаусса - наиболее универсальный метод для нахождения решения любой системы линейных уравнений, он работает в случае, когда система имеет бесконечно много решений или несовместна.
|
|
Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса.
Решение. Выпишем расширенную матрицу системы и при помощи элементарных преобразований над ее строками приведем эту матрицу к ступенчатому виду (прямой ход) и далее выполним обратный ход метода Гаусса (сделаем нули выше главной диагонали). Вначале поменяем первую и вторую строку, чтобы элемент равнялся 1 (это мы делаем для упрощения вычислений):
Далее делаем нули под главной диагональю в первом столбце. Для этого от второй строки отнимаем две первых, от третьей - три первых:
Все элементы третьей строки делим на два (или, что тоже самое, умножаем на ):
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для удобства вычислений поменяем местами вторую и третью строки, чтобы диагональный элемент равнялся 1:
От третьей строки отнимаем вторую, умноженную на 3:
Умножив третью строку на , получаем:
Проведем теперь обратный ход метода Гаусса (метод Гасса-Жордана), то есть сделаем нули над главной диагональю. Начнем с элементов третьего столбца. Надо обнулить элемент , для этого от второй строки отнимем третью:
Далее обнуляем недиагональные элементы второго столбца, к первой строке прибавляем вторую:
Полученной матрице соответствует система
или
Ответ.
4. Оснащение: персональный компьютер
5. Задания:
Вариант 1
1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.
А = , В = , С = (2В)т + А.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:
|
|
3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X1=1, X2=3, X3=2.
Вариант 2
1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.
А = , В = , С = А – Вт.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:
3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X1=-1, X2=2, X3=-2.
Вариант 3
1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.
А = , В = , С = 2В – Ат.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:
3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X1=4, X2=-2, X3=5.
Вариант 4
1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.
А = , В = , С = 2Ат – Вт.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:
3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X1=-3, X2=1, X3=-2.
Вариант 5
1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.
А = , В = , С = Ат + 2Вт.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:
3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X1=-2, X2=3, X3=-1.
Вариант 6
1. Даны матрицы А и В. Найти матрицу С.
А = , В = , С = А + (2В)т.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса:
3. По данным решениям системы составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса. X1=-2, X2=7, X3=1.
6. Порядок выполнения работы:
1.Выполнить действия над матрицами аналитически и проверить решение онлайн.
2. Решить систему уравнений методом Гаусса и Жордана-Гаусса аналитически и проверить решение онлайн.
3. Составить систему и проверить, правильность составления, решив её методом Гаусса аналитически и проверить решение онлайн.
Лабораторная работа № 2
Предмет «Математика»