Порядок выполнения работы

Решить задачи. Проверить ответы с помощью программы Webmath.ru.

Таблица вариантов.

Номера задач	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4	Вариант 5	Вариант 6
№1	1	2	3	1	2	3
№3	1,4	2,5	3,4	2,4	1,5	3,5
№4	1	2	3	1	2	3
№5	1	2	1	2	1	2
№6	2	1	2	1	2	1

 

Контрольные вопросы.

1. Что такое определенный интеграл?

2. Перечислить основные свойства интеграла.

3. Как применяется определенный интеграл для нахождения пути, пройденного телом при прямолинейном движении?

4. С помощью какой формулы можно вычислить работу, затраченную на растяжение пружины?

5. Объясните применение определенного интеграла при нахождении силы давления жидкости на вертикально расположенную пластинку.

6. Приведите примеры физических и технических задач, которые решаются с помощью определенного интеграла.

7. Какие применения интеграла вы знаете?

Требования к содержанию отчета о выполненной работе.

Отчет должен быть выполнен по стандарту колледжа в бланках для лабораторных работ.

 

Лабораторная работа №8.

Наименование: «Дифференциальные уравнения»

Цель работы: развитие умений и навыков по решению дифференциальных уравнений.

Ход работы: Решить дифференциальные уравнения аналитически и проверить ход решения онлайн.

Вариант – 1.

       Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1. при у(1)=3

2.

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если ,

2.

3.

Вариант – 2.

       Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1.  при у=0 и х=0

2.

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если ,

2.  

3.

Вариант – 3.

Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1.   при х=0 и у=2         

2.

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если ,

2.

3.  

Вариант – 4.

       Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1.   у(-2)=3

2.

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если

2.

3.

Вариант – 5.

       Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1.

 

2.

 

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если ,

2.

3.

Вариант – 6.

       Найти частные решения дифференциальных уравнений.

1.

2.

Решить дифференциальные уравнения:

1. , если ,

2.

3.  

Контрольные вопросы:

1. Что называется дифференциальным уравнением?

2. Что называется общим и частным решением дифференциального уравнения?

3. Какие вы знаете дифференциальные уравнения первого порядка?

4. Назовите алгоритм решения дифференциальных уравнений первого порядка для нахождения частного решения?

5. Что называется дифференциальным уравнением второго порядка?

6. Какой вид имеет характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка?

7. Какой вид общего решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида корней?

8. Каковы способы решения частного решения линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в зависимости от вида корней?

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. П. Т. Апанасов, М. И. Орлов. Сборник задач по математике. - М., ВШ,1987.
2. И. Л. Зайцев. Элементы высшей математики. -М., Наука,1972.
3. И.А. Соловейчик, В.Т. Лисичкин. Математика.-М., ВШ, 1991.
4. Н. В Богомолов Практические занятия по высшей математике. Учебное пособие для техникумов. М., «Высшая школа», 1973.
5. Г. В. Дорофеев, М. К. Потапов, Н. Х. Розов. Пособие по математике для поступающих в вузы. – М., 1972.
6. М. И. Шабунин, М. В. Ткачев, Н. Е. Федорова, Р. Г. Газарян. Алгебра и начала анализа. Дидактические материалы.
7. Д. Т. Письменный. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М., 2010.

 

 

                              Лабораторно-практическая работа №9

Предмет «Математика»

 Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений методом

Эйлера

 

1. Время работы – 2 часа

2. Цель работы: научиться находить приближенные значения решения обыкновенного дифференциального уравнения по формуле Эйлера.

3.Теоретические сведения:

Метод Эйлера

Простейшим дифференциальным уравнением является уравнение y'=f(x). y=∫f(x)dx - решение этого уравнения. Если F(x) её первообразная, то y=F(x)+C. Таким образом, это уравнение имеет бесконечное множество решений и их графики получаются параллельным переносом в направлении оси ординат.

Решение дифференциального уравнения, получаемое из общего решения путем придания определенного значения произвольной постоянной, называют частным решением этого уравнения

Решить задачу Коши для уравнения y'=f(x,y) (6.1) - это значит найти решение уравнения y'=f(x,y) в виде функции у(х), удовлетворяющей начальному условию у(х₀)=у₀

 

Решить дифференциальное уравнение у ׳ =f(x,y) численным методом - это значит для заданной последовательности аргументов х0, х1…, хn и числа у0, не определяя функцию у=F(x), найти такие значения у1, у2,…, уn, что уi=F(xi)(i=1,2,…, n) и F(x0)=y0.
Таким образом, численные методы позволяют вместо нахождения функции У=F(x) получить таблицу значений этой функции для заданной последовательности аргументов. Величина h=x_k-x_k-1 называется шагом интегрирования.
Метод Эйлера относится к численным методам, дающим решение в виде таблицы приближенных значений искомой функции у(х). Он является сравнительно грубым и применяется в основном для ориентировочных расчетов.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка
y ׳ =f(x,y) (1) с начальным условием x=x0, y(x0)=y0 (2)
Требуется найти решение уравнения (1) на отрезке [а,b].
Разобьем отрезок [a, b] на n равных частей и получим последовательность х0, х1, х2,…, хn, где  (i=0,1,…, n), а h=(b-a)/n -шаг интегрирования.
В методе Эйлера приближенные значения у(хi)=yi вычисляются последовательно по формулам

  (i=0,1,2…).

При этом искомая интегральная кривая у=у(х), проходящая через точку L0(х0, у0), заменяется ломаной L0L1l2… с вершинами Li(xi, yi) (i=0,1,2,…); каждое звено LiLi+1 этой ломаной, называемой ломаной Эйлера, имеет направление, совпадающее с направлением той интегральной кривой уравнения (1), которая проходит через точку Li.  

Пример программы для метода Эйлера:

var x,y,a,b,h:real; {Метод Эйлера}
function f(x,y:real):real;
begin f:=...; end;
begin
writeln('введите y, a, b, h');
readln(y,a,b,h); x:=a;
repeat
writeln(x:0:3,' ',y:0:3);
y:=y+h*f(x,y);
x:=x+h;
until x>b+0.1;
readln; end.