Тема 2. Система сходящихся сил. Условия равновесия системы сходящихся сил

Типы опор (связей)

1. Гладкая поверхность.

Гладкой будем называть поверхность, трением о которую данного тела в первом приближении можно пренебречь. Эта связь не дает телу перемещаться только по направлению общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания (рис. 1). Поэтому реакция  гладкой поверхности направлена по общей нормали к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания и приложена в этой точке. Когда одна из соприкасающихся поверхностей является точкой (рис.2), то реакция направлена по нормали к другой поверхности.

                                                                                     

                                                                                          

 

 

                   рис. 1                                                   рис.2

2. Гибкая нерастяжимая нить.

Гибкой нерастяжимой нитью будем называть такую связь, реакция  которой направлена вдоль нити к точке ее подвеса (рис. 3). Поскольку нить работает только на растяжение, то реакция нити всегда направлена от данного тела вдоль самой нити.

                                                                                      

 

                                                                                          

                                                                                                                                 

                                                                                             

                      рис. 3                                                     рис.4

9

3. Цилиндрический шарнир (подшипник).

Если два тела соединены болтом, проходящим через отверстия в этих телах, то такое соединение называется шарнирным или просто шарниром. Осевая линия болта называется осью шарнира. Тело , прикрепленное шарниром к опоре  (рис. 4), может свободно вращаться в плоскости чертежа, при этом конец  тела не может переместиться ни по какому направлению, перпендикулярному к оси шарнира. Поэтому реакция  цилиндрического шарнира может иметь любое направление в плоскости, перпендикулярной к оси шарнира, т.е. в плоскости . В этом случае модуль и направление реакции  будут определяться действующими на тело  внешними силами.

 

4. Шаровой (сферический) шарнир и подпятник.

Этот вид связи закрепляет какую-нибудь точку тела так, что она не может совершать никаких перемещений в пространстве. Примерами таких связей служат шаровая пята, с помощью которой прикрепляется фотоаппарат к штативу и подшипник с упором (подпятник) (рис. 5). Реакция  шарового шарнира или подпятника может иметь любое направление в пространстве. Для нее заранее не известны ни модуль реакции , ни углы, образуемые ею с осями .

 

5. Стержень.

Пусть в какой-нибудь конструкции связью является стержень , закрепленный на концах шарнирами (рис. 6). Примем, что весом стержня по сравнению с воспринимаемой им нагрузкой можно пренебречь. Тогда на стержень будут действовать только две силы, приложенные в шарнирах  и . Если стержень  находится в равновесии, то по аксиоме 1 эти силы должны быть прямопротивоположными. Следовательно, нагруженный на концах стержень, весом которого по сравнению с этими нагрузками можно пренебречь, работает только на растяжение или на сжатие. Если такой стержень является связью, то реакция  стержня будет направлена вдоль оси стержня.

10

6. Жесткая заделка.

В этом случае конец балки защемлен между опорными плоскостями. Этот тип опорного закрепления препятствует любому отрыву от себя, а также вращению. Таким образом, данный тип опоры дают неизвестные составляющие реакции ,  и опорный момент (рис. 7).

 

Принцип освобождения от связей.

Любое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если связи, наложенные на тело отбросить и заменить их действие реакциями этих связей.

Этот принцип позволяет свести изучение равновесия несвободного тела к изучению равновесия свободного тела. Например, брус  весом  (рис. 8а), для которого связями являются гладкая плоскость  и опора , можно рассматривать как свободное тело (рис. 8б), находящееся в равновесии под действием заданной силы  и реакций связей , .

 

                                                                          

                                                                         

 

                                                                                           

                                                                   

                            рис. 8а                                           рис.8б

 

Тема 2. Система сходящихся сил. Условия равновесия системы сходящихся сил.

    Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке (рис. 9). Так как сила – вектор скользящий, то эти силы можно перенести вдоль линий их действия в точку пересечения. Тогда мы делаем переход от системы сходящихся сил к системе сил пересекающихся в одной точке (рис. 10).

 

                                                                                   

                                                                                                    

                                                                         

                                                                                                             

 

                                                                                     

                                                                                                                                      

                          рис. 9                                                    рис.10

 

 

11

 Далее рассматривая уже систему сил пересекающихся в одной точке, мы можем заменить эту систему сил равнодействующей. Складываем эти силы на основании аксиомы 3. Сложение можно проводить геометрическим или аналитическим способами.

а) Геометрический способ сложения сил.

Этот способ сложения применим в основном для случаев, когда слагаемые силы расположены в одной плоскости. Допустим нам нужно сложить четыре силы, пересекающиеся в точке  (рис. 11). Откладываем из точки , в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы , затем из конца вектора  откладываем, в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы , затем из конца вектора  откладываем, в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы  и из конца вектора  откладываем, в масштабе и параллельно самому себе, вектор силы . Получили ломаную линию (рис. 12). Вектор, соединяющий начальную и конечную точки этой ломаной линии, будет по модулю и направлению определять равнодействующую  данной системы сил (рис. 13).

   

        

                                                                                 

                                                                                                        

                                                                                                                                               

                                                                                                                                                                                    

                                                      

                                         

        рис. 11                                   рис.12                         рис.13

        

По этому принципу можно складывать любое количество сил. Ломаная линия, получаемая в процессе сложения сил, называется силовым многоугольником, а само правило сложения сил называется правилом силового многоугольника.

б) Аналитический способ сложения сил.

При этом способе делается переход от векторов к зависимостям между их проекциями на основании теоремы геометрии: проекция вектора суммы на какую-нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось. Допустим, требуется сложить систему сил. Расписывая эти силы через их проекции на оси координат, получаем:

……………………..

12

    Затем, складываем коэффициенты при соответствующих орт-векторах получаем зависимость для определения модуля равнодействующей этой системы сходящихся сил.

(1)

Коэффициенты стоящие при соответствующих орт-векторах в зависимости (1), представляют собой проекции вектора  на оси координат, а направление этого вектора будет определятся направляющими косинусами:

,    

, ,                 (2)      

,

Зависимости (2) позволяют решать задачи о сложении сил аналитически.