РАБОЧАЯ ТЕТРАДЬ
ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Баранова Е.С.
Санкт-Петербург
2006
Задача 1
Изобразить число на комплексной плоскости, найти
его модуль и аргумент и записать в тригонометрической и экспоненциальной формах.
Справочный материал
Комплексным числом называется выражение вида , где и — любые действительные числа, — мнимая единица, удовлетворяющая условию .
Запись называется алгебраической формой комплексного числа.
Действительные числа и называются соответственно действительной (или вещественной) и мнимой частью комплексного числа и обозначаются
, .
Комплексное число называется сопряженным числу .
Комплексное число можно изображать на плоскости вектором с началом в точке и концом в точке . Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Ось абсцисс называется действительной (или вещественной) осью, а ось ординат — мнимой (рис. 1).
Рис. 1.
|
|
Длина вектора называется модулем комплексного числа и обозначается . Величина угла между положительным направлением действительной оси и вектором называется аргументом числа : . Положительным направлением изменения угла считается направление против часовой стрелки. Модуль и аргумент комплексного числа определяются из формул:
, .
При нахождении аргумента следует учитывать, что для каждого числа его аргумент имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на число, кратное (аргумент числа не определён, а его модуль равен нулю). В качестве главного значения аргумента обычно выбирают значение из промежутка . Всё множество значений аргумента обозначают . Таким образом,
().
Если ,то из формулы получаем
для внутренних точек I и IV четвертей, то есть при , | |
для внутренних точек II четверти, то есть при , , | |
для внутренних точек III четверти, то есть , . |
Выделим четыре частных случая. Если z:
a) действительное положительное число, то ;
б) действительное отрицательное число, то ;
в) чисто мнимое с положительной мнимой частью, то ;
г) чисто мнимое с отрицательной мнимой частью, то .
Любое комплексное число можно представить в тригонометрической форме
,
С помощью формулы Эйлера
можно перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа к экспоненциальной (показательной).
.
Решение задачи
Число изобразим на комплексной плоскости точкой с координатами (рис. 2).
Найдем модуль заданного числа:
.
Так как точка лежит во второй четверти, то
.
Рис. 2.
Тригонометрическая форма имеет вид
|
|
,
а экспоненциальная
.
Задача 2
Найти а) , б) .
Справочный материал
Для того чтобы разделить одно комплексное число на другое, удобно домножить числитель и знаменатель дроби, полученной при записи действия, на комплексное число, сопряженное знаменателю:
.
Решение задачи 2а
.
Решение задачи 2б
Представим в тригонометрической форме и найдем действительную часть:
.
Задача 3
Вычислить .
Решение задачи
Учитывая, что , и , получаем
.
Задача 4
Вычислить .
Решение задачи
Представим числа и в показательной форме:
;
,
и возведем их в степени:
,
.
Тогда
.
Так как
,
получаем
.
Задача 5
Вычислить и изобразить на комплексной плоскости .
Справочный материал
Извлечь корень натуральной степени из числа z - значит найти такое число , - я степень которого равна z.
Если , то
, .
Все различных значений имеют один и тот же модуль, равный . Аргументы значений и отличаются один от другого на . Поэтому точки, соответствующие значениям , являются вершинами правильного - угольника, вписанного в окружность радиуса с центром в начале координат.
Решение задачи
Найдем модуль и аргумент числа :
,
.
Следовательно,
.
Полагая , найдем пять различных значений корня:
, | |
, | |
, | |
, | |
. |
Изобразим полученные значения на комплексной плоскости (рис. 3).
Рис. 3.
Задача 6
Найти все значения функций:
а) , б) , в) .
Справочный материал
Пусть даны два множества и , принадлежащих расширенной комплексной плоскости.
Если каждому числу из множества поставлено в соответствие одно число из множества , то говорят, что на множестве определена однозначная функция комплексной переменной , отображающая множество во множество .
Множество всех значений , которые принимает на , называется множеством значений функции .
Если каждому значению из множества ставится в соответствие несколько значений из множества , то функция называется многозначной.
Представим каждое из комплексных чисел и в виде , . Тогда
.
Таким образом, задание функции комплексной переменной равносильно заданию двух действительных функций и .
Перечислим основные элементарные функции комплексной переменной.
Показательная функция определяется с помощью равенства
.
Показательная функция является периодической с периодом , т. е. .
Тригонометрические функции определяются равенствами
, ,
, .